Какова площадь области между графиком кривой y=1/3x^3 и вертикальными линиями x=-3 и x=3, а также осью x? Экзамен будет

Таисия_8987

11

Хорошо, давайте решим вашу задачу по шагам.

1. Начнем с построения графика кривой \(y = \frac{1}{3}x^3\). Для этого нам нужно построить несколько точек, а затем соединить их плавной кривой. Возьмем несколько значений \(x\), например, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3 и найдем соответствующие значения \(y\).

Вычислим значения \(y\) для данных значений \(x\):
\[y(-3) = \frac{1}{3} \cdot (-3)^3 = -9\]
\[y(-2) = \frac{1}{3} \cdot (-2)^3 = -\frac{8}{3}\]
\[y(-1) = \frac{1}{3} \cdot (-1)^3 = -\frac{1}{3}\]
\[y(0) = \frac{1}{3} \cdot (0)^3 = 0\]
\[y(1) = \frac{1}{3} \cdot (1)^3 = \frac{1}{3}\]
\[y(2) = \frac{1}{3} \cdot (2)^3 = \frac{8}{3}\]
\[y(3) = \frac{1}{3} \cdot (3)^3 = 9\]

Теперь, используя эти значения, построим график, отмечая каждую точку на координатной плоскости и соединяя их плавной кривой.

\[
\begin{array}{ccccccc}
(x) & -3 & -2 & -1 & 0 & 1 & 2 & 3 \\
(y) & -9 & -\frac{8}{3} & -\frac{1}{3} & 0 & \frac{1}{3} & \frac{8}{3} & 9 \\
\end{array}
\]

\[
\begin{array}{cccccccc}
\uparrow & & & & & & & \uparrow \\
& & & & & & & \\
-12 & -9 & -6 & -3 & 0 & 3 & 6 & 9 \\
& & & & & & & \\
\downarrow & & & & & & & \downarrow \\
\end{array}
\]

Теперь у нас есть график функции \(y = \frac{1}{3}x^3\), изображенный на координатной плоскости.

2. Далее, чтобы найти площадь области между графиком этой кривой и вертикальными линиями \(x = -3\) и \(x = 3\), а также осью \(x\), мы должны разбить эту область на несколько частей и вычислить площадь каждой части.

Обратите внимание, что график симметричен относительно оси \(y\). Поэтому для удобства подсчета, мы можем сначала найти площадь положительной части и удвоить ее, чтобы получить полную площадь.

3. Площадь положительной части между графиком функции и осью \(x\) можно найти с помощью интеграла. В данном случае интеграл будет от \(x = 0\) до \(x = 3\) функции \(y = \frac{1}{3}x^3\), так как эта часть находится в положительной области.

Вычислим интеграл:
\[\text{Площадь} = 2 \cdot \int_{0}^{3} \frac{1}{3}x^3 \,dx\]

Проинтегрируем:
\[\text{Площадь} = 2 \cdot \left[ \frac{1}{12}x^4 \right]_{0}^{3}\]

Вычислим значения:
\[\text{Площадь} = 2 \cdot \left( \frac{1}{12} \cdot (3)^4 - \frac{1}{12} \cdot (0)^4 \right)\]
\[\text{Площадь} = 2 \cdot \left( \frac{1}{12} \cdot 81 - \frac{1}{12} \cdot 0 \right)\]
\[\text{Площадь} = 2 \cdot \frac{81}{12}\]
\[\text{Площадь} = \frac{27}{2}\]

Таким образом, площадь положительной части между графиком функции \(y = \frac{1}{3}x^3\), вертикальными линиями \(x = -3\) и \(x = 3\) и осью \(x\) составляет \(\frac{27}{2}\).

4. Чтобы найти полную площадь, удвоим полученный результат:
\[\text{Полная площадь} = 2 \cdot \frac{27}{2}\]
\[\text{Полная площадь} = 27\]

Таким образом, полная площадь области между графиком кривой \(y = \frac{1}{3}x^3\), вертикальными линиями \(x = -3\) и \(x = 3\) и осью \(x\) составляет 27 квадратных единиц.

Надеюсь, это подробное решение поможет вам понять, как найти площадь данной области. Удачи на экзамене!