Какова площадь области, ограниченной ветвью графика функции y = -2/x и вертикальной прямой x

Solnechnyy_Sharm_9330

7

Чтобы найти площадь области, ограниченной ветвью графика функции \(y = -\frac{2}{x}\) и вертикальной прямой \(x = a\), где \(a\) — некоторое число, необходимо рассмотреть интеграл этой функции на отрезке от \(-\infty\) до \(a\).

Итак, начнем с построения графика функции \(y = -\frac{2}{x}\). Заметим, что данная функция будет ветвью гиперболы, которая проходит через начало координат и имеет тенденцию к нулю по мере удаления от начала координат.

Теперь, чтобы найти площадь области, ограниченной ветвью графика функции и вертикальной прямой \(x = a\), нам нужно вычислить определенный интеграл функции на соответствующем интервале.

Интеграл этой функции можно представить следующим образом:

\[
\int_{-\infty}^{a} -\frac{2}{x} \, dx
\]

Прежде чем продолжить, нам нужно учесть, что данная функция не определена в точке \(x = 0\), поэтому мы должны исключить это значение из нашего интервала. Поэтому интеграл будет выглядеть следующим образом:

\[
\int_{-\infty}^{a} -\frac{2}{x} \, dx = \lim_{{\epsilon \to 0}} \int_{-\infty}^{-\epsilon} -\frac{2}{x} \, dx + \int_{\epsilon}^{a} -\frac{2}{x} \, dx
\]

Теперь мы можем вычислить данный интеграл. Интегрирование обратной функции \(\frac{1}{x}\) дает нам естественный логарифм:

\[
\int \frac{1}{x} \, dx = \ln|x| + C
\]

Где \(C\) — произвольная постоянная.

Теперь можем посчитать интеграл:

\[
\int -\frac{2}{x} \, dx = -2\ln|x| + C
\]

Применяя верхний и нижний пределы, получаем:

\[
\int_{-\infty}^{a} -\frac{2}{x} \, dx = [-2\ln|x|]_{-\infty}^{a} = -2\ln|a| - (-2\ln|-\infty|) = -2\ln|a| + 2\ln(\infty) = -2\ln|a|
\]

Теперь, подставляя значения, получаем окончательный ответ:

\[
\text{Площадь области} = -2\ln|a|
\]

Таким образом, площадь области, ограниченной ветвью графика функции \(y = -\frac{2}{x}\) и вертикальной прямой \(x = a\), равна \(-2\ln|a|\).