Какова площадь области, заключенной между графиком функции y=3x-1 и вертикальной линией x=2?

Tainstvennyy_Akrobat

16

Для решения данной задачи нам понадобится найти точки пересечения графика функции \(y = 3x - 1\) и вертикальной линии \(x = 2\). Затем мы определим границы области, заключенной между этими двумя кривыми.

Для начала найдем точки пересечения. Подставляя \(x = 2\) в уравнение функции, получим:

\[y = 3 \cdot 2 - 1 = 5\]

Таким образом, точка пересечения имеет координаты (2, 5).

Далее, рассмотрим графики функции \(y = 3x - 1\) и вертикальной линии \(x = 2\).

\[
\begin{array}{ c }
\text{график функции } y = 3x - 1 \\
\begin{array}{|c|c|}
\hline
x & y\\
\hline
-2 & -7\\
-1 & -4\\
0 & -1\\
1 & 2\\
2 & 5\\
3 & 8\\
\hline
\end{array}
\end{array}
\quad \quad \quad
\begin{array}{ c }
\text{вертикальная линия } x = 2 \\
\begin{array}{|c|c|}
\hline
x & y\\
\hline
2 & y\\
\hline
\end{array}
\end{array}
\]

Как видно из графиков, график функции \(y = 3x - 1\) является прямой линией, проходящей через точку (0, -1) и с положительным наклоном. Вертикальная линия \(x = 2\) параллельна оси y и проходит через точку (2, y), причем значение y может быть любым.

Теперь, чтобы найти площадь области, заключенной между этими двумя кривыми, мы должны найти разность между площадями, ограниченными функцией \(y = 3x - 1\), вертикальной линией \(x = 2\) и осью x.

Площадь области, заключенной между функцией \(y = 3x - 1\) и осью x, можно найти с помощью определенного интеграла. Для последующего вычисления определенного интеграла, нам понадобится функция \(y\) от \(x\).

Поэтому, для нахождения разности площадей, мы можем использовать следующий интеграл:

\[
\int_{-2}^{2} \left(3x-1\right)dx - \int_{-2}^{2} 2dx
\]

Вычислив этот интеграл, мы сможем определить площадь области, заключенной между графиком функции \(y=3x-1\) и вертикальной линией \(x=2\).

Сделаем подстановку в наши интегралы:

\[
\int_{-2}^{2} \left(3x-1\right)dx = \left(\frac{3}{2}x^2 - x\right) \Bigg|_{-2}^{2} = \left(\frac{3}{2}(2)^2 - (2)\right) - \left(\frac{3}{2}(-2)^2 - (-2)\right) = 8 - 2 = 6
\]

\[
\int_{-2}^{2} 2dx = 2x \Bigg|_{-2}^{2} = (2)(2) - (2)(-2) = 4 + 4 = 8
\]

Теперь, вычислим разность площадей:

\[6 - 8 = -2\]

Таким образом, площадь области, заключенной между графиком функции \(y=3x-1\) и вертикальной линией \(x=2\), равна -2 (единицы площади).