Какова площадь области, заключенной между нулевой осью и графиками прямых x=1, x=3, y=0, а также параболой, которая

Яхонт_2536

45

Чтобы найти площадь области, заключенной между указанными прямыми и параболой, мы должны разбить эту область на две части и найти площадь каждой части отдельно. Затем мы сложим эти площади, чтобы получить окончательный ответ.

Первая часть области находится между нулевой осью, прямыми \(x=1\) и \(x=2\), и параболой. Для начала, нам нужно найти уравнение параболы, проходящей через точки \(a(2,1)\), \(b(1,3)\), и \(c(3,3)\). Для этого мы можем использовать формулу квадратного уравнения. Давайте найдем это.

Сначала найдем уравнение параболы в общей форме \(y=ax^2+bx+c\). Подставим в уравнение координаты точки \(a(2,1)\):
\[1 = a(2)^2 + b(2) + c\]
\[1 = 4a + 2b + c \quad (1)\]

Затем подставим координаты точки \(b(1,3)\):
\[3 = a(1)^2 + b(1) + c\]
\[3 = a + b + c \quad (2)\]

И, наконец, подставим координаты точки \(c(3,3)\):
\[3 = a(3)^2 + b(3) + c\]
\[3 = 9a + 3b + c \quad (3)\]

Теперь у нас есть система уравнений (1), (2) и (3), и мы можем решить ее, чтобы найти значения \(a\), \(b\) и \(c\).

Используя алгебраические методы для решения этой системы уравнений, найдем:
\[a = -1, \quad b = 5, \quad c = -7\]

Получили уравнение параболы: \(y = -x^2 + 5x - 7\).

Теперь у нас есть все необходимые инструменты для вычисления площади первой части области. Давайте разобьем эту область на прямоугольник и треугольник.

Прямоугольник имеет высоту, равную разности значений \(x=3\) и \(x=1\), то есть \(h = 3 - 1 = 2\). Ширина прямоугольника равна \(w = f(x)\), где \(f(x)\) - это функция параболы \(y = -x^2 + 5x - 7\). Мы можем вычислить площадь этого прямоугольника по формуле: \(S_{\text{прямоугольник}} = w \cdot h\).

Треугольник имеет высоту, равную разности значений \(x=2\) и \(x=1\), то есть \(h = 2 - 1 = 1\). Основание треугольника равно \(w = f(x)\), где \(f(x)\) - это функция параболы \(y = -x^2 + 5x - 7\). Площадь этого треугольника можно вычислить по формуле: \(S_{\text{треугольник}} = \frac{1}{2} \cdot w \cdot h\).

Теперь зная выражения \(w\) для прямоугольника и треугольника, можем вычислить площади.

Для прямоугольника:
\[w_{\text{прямоугольник}} = f(3) - 1\]
\[w_{\text{прямоугольник}} = (-3^2 + 5\cdot3 - 7) - 1\]
\[w_{\text{прямоугольник}} = -1\]

Для треугольника:
\[w_{\text{треугольник}} = f(2) - 1\]
\[w_{\text{треугольник}} = (-2^2 + 5\cdot2 - 7) - 1\]
\[w_{\text{треугольник}} = -2\]

Теперь, используя найденные значения ширины и высоты, найдем площадь прямоугольника и треугольника:
\[S_{\text{прямоугольник}} = -1 \cdot 2 = -2\]
\[S_{\text{треугольник}} = \frac{1}{2} \cdot (-2) \cdot 1 = -1\]

Наконец, сложим площади прямоугольника и треугольника, чтобы получить окончательную площадь:
\[S_{\text{окончательная}} = S_{\text{прямоугольник}} + S_{\text{треугольник}} = (-2) + (-1) = -3\]

Итак, площадь области, заключенной между нулевой осью, графиками прямых \(x=1\), \(x=3\), \(y=0\) и параболой, проходящей через три точки \(a(2,1)\), \(b(1,3)\) и \(c(3,3)\), равна -3.