Какова площадь одной из граней, если в тетраэдре MNPQ ребро MN равно 3√2 см, NP и NQ равны 7 см, PQ равно 8 см, а угол

Ledyanaya_Pustosh

38

Чтобы найти площадь одной из граней тетраэдра MNPQ, нам нужно знать радиус описанной сферы этого тетраэдра. Однако, у нас дано только значения ребер и углов.

Для начала, построим треугольник MNP. Поскольку радиус описанной окружности треугольника является основой для нахождения площади грани тетраэдра, мы можем использовать теорему синусов для нахождения высоты треугольника MNP.

Теорема синусов гласит:

\[\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C},\]

где a, b и c - длины сторон треугольника, а A, B и C - соответственные им углы.

Мы знаем, что NP и NQ равны 7 см, а угол MNP равен углу MNQ и составляет 45 градусов. Поэтому имеем:

\[\frac{7}{\sin 45^\circ} = \frac{7}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = 7\sqrt{2}.\]

Теперь, чтобы найти высоту треугольника MNP, умножим полученное значение на \(\sqrt{2}\), так как высота также будет равна стороне квадрата с диагональю 7 см:

Высота = \(7\sqrt{2} \cdot \sqrt{2} = 14\) см.

Таким образом, мы нашли высоту треугольника MNP, которая равна 14 см.

Теперь, чтобы найти площадь треугольника MNP, мы можем использовать формулу площади треугольника:

\[S = \frac{1}{2} \cdot \text{основание} \cdot \text{высота}.\]

Здесь треугольник MNP - равнобедренный треугольник, поэтому его высота является перпендикуляром, опущенным из вершины M на основание NP. Поэтому площадь треугольника MNP равна:

\[S = \frac{1}{2} \cdot NP \cdot \text{высота} = \frac{1}{2} \cdot 7 \cdot 14 = 49\] см².

Таким образом, площадь одной из граней тетраэдра MNPQ равна 49 см².