Какова площадь основания конуса, если конус пересечен плоскостью, которая перпендикулярна его высоте и разделяет

Пламенный_Капитан

29

Для решения этой задачи нам понадобится использовать свойства подобных треугольников и площадей.

Пусть \(S\) - площадь основания конуса, \(S_{\text{сечения}}\) - площадь сечения.
По условию, площадь сечения, измеренная от вершины конуса, составляет \(S_{\text{сечения}}\).
Также у нас есть информация о том, что высота конуса делится плоскостью на отрезки в отношении 1:3.

Используем свойство подобных треугольников. Обозначим через \(h\) высоту конуса, а через \(x\) - длину одного из отрезков, на которые делится высота. Тогда длина другого отрезка будет \(3x\).

Рассмотрим два треугольника: верхний треугольник, образованный плоскостью и высотой конуса, и нижний треугольник, образованный основанием конуса и плоскостью.

Так как у треугольников есть общий угол (поскольку плоскость перпендикулярна высоте), а две стороны одного треугольника параллельны соответствующим сторонам другого треугольника, то треугольники будут подобными.

Помним, что площадь подобных фигур относится как квадраты соответствующих сторон.
Поэтому мы можем записать:
\[\frac{S_{\text{сечения}}}{S} = \left(\frac{x}{h}\right)^2\]
так как соответствующие стороны треугольников пропорциональны.

Используя отношение длин отрезков (1:3), можно записать:
\[\frac{x}{h} = \frac{1}{3}\]
или
\[x = \frac{h}{3}\]

Подставим это значение в уравнение:
\[\frac{S_{\text{сечения}}}{S} = \left(\frac{x}{h}\right)^2 = \left(\frac{\frac{h}{3}}{h}\right)^2 = \left(\frac{1}{3}\right)^2 = \frac{1}{9}\]

Теперь нам нужно найти площадь основания \(S\). Умножим обе части уравнения на \(S\), чтобы избавиться от дроби:
\[S_{\text{сечения}} = \frac{1}{9} \cdot S\]

Таким образом, площадь основания конуса будет равна площади сечения, умноженной на 9:
\[S = 9 \cdot S_{\text{сечения}}\]

ОТВЕТ: Площадь основания конуса равна площади сечения, умноженной на 9.