Какова площадь параллелограмма, у которого смежные стороны равны 12 см и 24 см, а один из его углов равен 150 градусов?

Zayka

12

Для решения этой задачи нам понадобятся знания о площади параллелограмма и о тригонометрии.

Площадь параллелограмма можно найти, используя формулу:

\[S = a \cdot h\]

где \(a\) - длина основания параллелограмма, а \(h\) - высота параллелограмма, опущенная на это основание.

Для нахождения высоты нам понадобятся данные о угле параллелограмма, так как у нас дан один угол, а смежные стороны у нас равны 12 см и 24 см.

Здесь нам помогут тригонометрические соотношения в прямоугольном треугольнике.

Мы можем разделить параллелограмм на два прямоугольных треугольника, поскольку углы параллелограмма смежные и один из них равен 150 градусам.

Давайте найдем высоту одного из этих треугольников.

Так как у нас есть две смежные стороны, равные 12 см и 24 см, а угол между ними равен 150 градусам, мы можем использовать закон синусов для нахождения высоты треугольника.

Закон синусов гласит:

\[\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C}\]

где \(a\), \(b\) и \(c\) - стороны треугольника, \(A\), \(B\) и \(C\) - соответствующие противолежащие углы.

В нашем случае у нас есть сторона \(a = 12\) см, сторона \(b = 24\) см и угол \(A = 150\) градусов.

Высота треугольника, опущенная на сторону \(a\), будет противоположна углу \(A\). Давайте обозначим эту высоту как \(h\). Тогда закон синусов можно записать следующим образом:

\[\frac{a}{\sin A} = \frac{h}{\sin B}\]

Теперь мы можем решить эту формулу относительно \(h\):

\[h = \frac{a \cdot \sin B}{\sin A}\]

Нам нужно найти синус угла \(B\). Известно, что сумма углов треугольника равна 180 градусам, поэтому угол \(B\) можно найти, вычтя углы \(A\) и \(C\) из 180 градусов:

\[B = 180 - A - C\]

У нас уже известно, что угол \(A = 150\) градусов. Так как углы параллелограмма смежные, то угол \(C\) также равен 150 градусам. Подставим значения в формулу:

\[B = 180 - 150 - 150 = 180 - 300 = -120\]

Обратите внимание, что угол \(B\) отрицательный, потому что он у нас лежит под основанием.

Теперь мы можем найти синус угла \(B\) с помощью функций синуса. Функция синуса определяется отношением противолежащего катета к гипотенузе в прямоугольном треугольнике.

Мы знаем, что угол \(B\) равен -120 градусам и сторона \(b\) равна 24 см.

С помощью функции синуса мы можем записать:

\[\sin B = \frac{b}{h}\]

Теперь мы можем решить эту формулу относительно \(\sin B\):

\[\sin B = \frac{24}{h}\]

Теперь мы можем объединить все шаги и использовать найденное значение \(\sin B\) в формуле для нахождения высоты треугольника:

\[h = \frac{a \cdot \sin B}{\sin A}\]

\[h = \frac{12 \cdot \frac{24}{h}}{\sin 150^\circ}\]

Осталось только решить получившееся уравнение относительно \(h\).