Какова площадь полной поверхности данного параллелепипеда при объёме 168 и длинах сторон a=8 и b=7, исходящих из одной

Yabloko_3645

26

Чтобы решить данную задачу, мы можем использовать формулу для площади полной поверхности параллелепипеда, которая включает в себя все его грани. По определению, полная поверхность параллелепипеда состоит из двух оснований и четырех сторон.

Для начала, мы знаем, что объем параллелепипеда равен 168. Объем параллелепипеда можно найти, умножив длину (a), ширину (b) и высоту (h) параллелепипеда. В данной задаче нам даны только длины сторон a и b. Так как векторы a и b исходят из одной и той же вершины, они образуют прямой угол, и мы можем использовать геометрические соображения для определения значения h.

Из геометрии известно, что высота параллелепипеда (h) является высотой треугольника, образованного векторами a и b. Мы можем найти значение высоты параллелепипеда, используя формулу для площади треугольника:

\[S_{\text{треугольника}} = \frac{1}{2} \times a \times b \times \sin{\theta}\]

где a и b - длины сторон треугольника, а \(\theta\) - угол между ними.

В данном случае у нас прямоугольный треугольник, поэтому угол \(\theta\) равен 90°. Таким образом, мы можем заменить \(\sin{\theta}\) на 1 в формуле для площади треугольника.

\[S_{\text{треугольника}} = \frac{1}{2} \times a \times b \times 1 = \frac{1}{2} \times a \times b\]

Теперь мы знаем площадь треугольника, который образован векторами a и b, и можем использовать эту информацию для определения значения высоты параллелепипеда (h). Зная площадь треугольника и длину одной из его сторон (например, a), мы можем выразить высоту h следующим образом:

\[h = \frac{2 \times S_{\text{треугольника}}}{a}\]

Теперь, когда мы знаем значения длин сторон a и b параллелепипеда, а также значение высоты h, мы можем использовать формулу для площади полной поверхности параллелепипеда:

\[S_{\text{полная поверхность}} = 2 \times (a \times b + a \times h + b \times h)\]

Подставляя значения, получаем:

\[S_{\text{полная поверхность}} = 2 \times (8 \times 7 + 8 \times \frac{2 \times S_{\text{треугольника}}}{8} + 7 \times \frac{2 \times S_{\text{треугольника}}}{8})\]

Упрощая выражение, получаем:

\[S_{\text{полная поверхность}} = 2 \times (56 + 2 \times S_{\text{треугольника}} + \frac{14 \times S_{\text{треугольника}}}{8})\]

\[S_{\text{полная поверхность}} = 2 \times (56 + 2 \times S_{\text{треугольника}} + \frac{7 \times S_{\text{треугольника}}}{4})\]

\[S_{\text{полная поверхность}} = 2 \times (56 + \frac{15 \times S_{\text{треугольника}}}{4})\]

Теперь нам осталось найти площадь треугольника. Подставляя значение для площади треугольника, получаем:

\[S_{\text{полная поверхность}} = 2 \times (56 + \frac{15 \times \frac{1}{2} \times a \times b}{4})\]

\[S_{\text{полная поверхность}} = 2 \times (56 + \frac{15 \times \frac{1}{2} \times 8 \times 7}{4})\]

\[S_{\text{полная поверхность}} = 2 \times (56 + \frac{15 \times 8 \times 7}{4})\]

\[S_{\text{полная поверхность}} = 2 \times (56 + 15 \times 14)\]

\[S_{\text{полная поверхность}} = 2 \times (56 + 210)\]

\[S_{\text{полная поверхность}} = 2 \times 266\]

\[S_{\text{полная поверхность}} = 532\]

Таким образом, площадь полной поверхности данного параллелепипеда равна 532.