Какова длина пересечения поверхностей шаров с радиусами 3 см и 5 см, при расстоянии 6 см между их центрами?

Мартышка

59

Чтобы найти длину пересечения поверхностей шаров, сначала нужно определить, пересекаются ли они вообще. Для этого мы можем использовать теорему Пифагора и равенство треугольников.

По условию задачи у нас есть два шара с радиусами 3 см и 5 см и расстоянием 6 см между их центрами.

Для начала найдем расстояние от центра одного шара до плоскости пересечения. Для этого мы можем использовать теорему Пифагора. Пусть это расстояние равно \(d\).

Применим теорему Пифагора к правильному треугольнику, образованному радиусом большего шара, радиусом меньшего шара и расстоянием между центрами шаров:

\[
d^2 = (5 \, см)^2 - (3 \, см)^2
\]

\[
d^2 = 25 \, см^2 - 9 \, см^2
\]

\[
d^2 = 16 \, см^2
\]

\[
d = 4 \, см
\]

Теперь мы знаем, что расстояние от центра шара до плоскости пересечения составляет 4 см.

Так как радиус большего шара равен 5 см, периметр пересечения будет равен окружности радиусом 5 см минус два треугольника радиусом 5 см, образованных расстоянием между центрами и расстоянием от центра до плоскости пересечения.

Теперь найдем точку пересечения треугольника с плоскостью пересечения. Для этого мы можем использовать теорему Пифагора:

\[
r^2 = (5 \, см)^2 - (4 \, см)^2
\]

\[
r^2 = 25 \, см^2 - 16 \, см^2
\]

\[
r^2 = 9 \, см^2
\]

\[
r = 3 \, см
\]

Таким образом, радиус пересечения поверхности шаров равен 3 см.

Теперь мы можем найти длину пересечения поверхностей шаров, используя формулу длины окружности:

\[
L = 2 \pi r
\]

\[
L = 2 \cdot \pi \cdot 3 \, см
\]

\[
L = 6 \pi \, см
\]

Таким образом, длина пересечения поверхностей шаров равна \(6 \pi\) см.