Найдите площадь трапеции, в которую вписана окружность радиусом 3, если одно из ее оснований равно

Капля

60

Чтобы найти площадь трапеции, в которую вписана окружность радиусом 3, нам понадобится некоторое математическое знание. Давайте разберемся пошагово.

Шаг 1: Нарисуйте трапецию и окружность в ней. Обозначьте основания трапеции как \(a\) и \(b\), а радиус окружности как \(r\).

Шаг 2: Обратимся к геометрическим свойствам трапеции вписанной окружности. Мы знаем, что касательные, проведенные от точек касания окружности с основаниями, перпендикулярны основанию трапеции. Это означает, что сегменты оснований трапеции, между точками касания окружности и основаниями, являются взаимно перпендикулярными.

Шаг 3: Разделим одну из оснований трапеции на две равные части, обозначим их как \(c\) и \(d\). Заметьте, что сумма \(c\) и \(d\) равна длине основания \(a\).

Шаг 4: Так как касательные, нарисованные от точек касания окружности к основаниям трапеции, перпендикулярны основанию трапеции, они также являются биссектрисами верхних углов трапеции. Это означает, что угол между боковой стороной трапеции и одним из оснований равен половине угла между основанием и верхней стороной.

Шаг 5: Для нахождения площади трапеции, нам понадобятся формулы для площади треугольника и круга.

Шаг 6: Вычислим площадь треугольника, в котором одна сторона равна радиусу окружности. Формула площади треугольника - это \(\frac{1}{2} \times \text{основание} \times \text{высота}\).

Зная, что одна сторона треугольника равна радиусу окружности равному 3, площадь этого треугольника равна \(\frac{1}{2} \times 3 \times r\), где \(r\) - это радиус окружности, а в данном случае равняется 3.

Таким образом, площадь этого треугольника равна \(\frac{1}{2} \times 3 \times 3 = 4.5\).

Шаг 7: Теперь нам нужно найти длину основания трапеции. Из шага 3 мы знаем, что сумма \(c\) и \(d\) равна длине основания \(a\). Так как одно из оснований равно 5, мы можем получить значения \(c\) и \(d\) путем деления основания пополам: \(c = d = \frac{5}{2} = 2.5\).

Шаг 8: Суммируем площадь треугольника и площадь трапеции. Площадь трапеции - это сумма площади двух треугольников и площади прямоугольника между ними. Формула площади трапеции - это \(\text{площадь верхнего треугольника} + \text{площадь нижнего треугольника} + \text{площадь прямоугольника}\).

Площади верхнего и нижнего треугольников равны, так как они имеют одинаковую высоту (радиус окружности) и основания равны \(c\) и \(d\). Таким образом, площадь каждого треугольника составляет \(4.5\).

Площадь прямоугольника между двумя треугольниками - это \(c + d\) умноженные на радиус окружности. В нашем случае, это \((2.5 + 2.5) \times 3 = 15\).

Таким образом, суммарная площадь трапеции равна \(4.5 + 4.5 + 15 = 24\).

Ответ: Площадь трапеции, в которую вписана окружность радиусом 3, равна 24.