Какова площадь полной поверхности данной правильной шестиугольной призмы, если длина стороны ее основания равна 6

Saveliy

67

Чтобы найти площадь полной поверхности данной правильной шестиугольной призмы, нужно сначала найти площадь ее основания, а затем прибавить к ней площадь боковой поверхности.

1. Площадь основания шестиугольной призмы:
Так как данное основание - правильный шестиугольник, все его стороны одинаковы. Длина стороны основания, по условию, равна 6 см. Как найти площадь такого шестиугольника? Шестиугольник можно разбить на 6 равносторонних треугольников. Это можно сделать следующим образом: провести из центра шестиугольника радиус (расстояние от центра до одной из вершин шестиугольника) и соединить его с вершинами. Таким образом, шестиугольник разобьется на 6 равных треугольников. Известно, что угол при вершине равностороннего треугольника равен 60 градусам, следовательно, радиус равен одной из его сторон.

Теперь мы вычисляем площадь одного треугольника, а затем умножаем на 6, чтобы найти площадь всего основания.

\[S_{\text{основания}} = 6 \cdot \text{площадь одного треугольника}\]

Есть формула для нахождения площади треугольника по формуле Герона:

\[S_{\text{треугольника}} = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}\]

Где \(p\) - полупериметр треугольника, а \(a\), \(b\) и \(c\) - длины его сторон.

В нашем случае каждая сторона равна 6 см, следовательно \(a = b = c = 6\). Полупериметр вычисляется по формуле \(p = \frac{{a + b + c}}{2}\).

Теперь мы можем вычислить площадь одного треугольника и умножить его на 6:

\[S_{\text{треугольника}} = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}\]
\[S_{\text{треугольника}} = \sqrt{\left(\frac{{a + b + c}}{2}\right)\left(\left(\frac{{a + b + c}}{2}\right)-a\right)\left(\left(\frac{{a + b + c}}{2}\right)-b\right)\left(\left(\frac{{a + b + c}}{2}\right)-c\right)}\]

\[
S_{\text{основания}} = 6 \cdot S_{\text{треугольника}}
\]

2. Площадь боковой поверхности шестиугольной призмы:
Так как боковая поверхность призмы состоит из 6 равных прямоугольных треугольников, можно использовать формулу площади прямоугольного треугольника:

\[S_{\text{треугольника}} = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b\]

В нашем случае, сторона \(a\) равна 6 см, а сторона \(b\) - длина большой диагонали. Для вычисления длины большой диагонали, мы можем использовать теорему косинусов, где \(c\) - сторона основания, \(d\) - меньшая диагональ, \(e\) - большая диагональ и \(A\) - угол между стороной основания и большей диагональю.

\[e^2 = c^2 + d^2 - 2 \cdot c \cdot d \cdot \cos(A)\]

В данной задаче значение угла \(A\) равно 60 градусам, сторона основания \(c\) равна 6 см, и известно, что для правильного шестиугольника \(c = d\), следовательно у нас получается:

\[e^2 = 6^2 + 6^2 - 2 \cdot 6 \cdot 6 \cdot \cos(60^\circ)\]

\[e^2 = 36 + 36 - 72 \cdot \cos(60^\circ)\]

\[e^2 = 72 - 72 \cdot \frac{1}{2}\]

\[e^2 = 72 - 36\]

\[e^2 = 36\]

\[e = \sqrt{36}\]

\[e = 6\]

Таким образом, \(b = 6\) см.

Теперь мы можем вычислить площадь боковой поверхности:

\[S_{\text{боковой поверхности}} = 6 \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot a \cdot b\right)\]

3. Найдем площадь полной поверхности шестиугольной призмы:
Чтобы найти площадь полной поверхности, мы просто прибавляем площадь основания и площадь боковой поверхности:

\[S_{\text{полной поверхности}} = S_{\text{основания}} + S_{\text{боковой поверхности}}\]

Теперь предъявим все вычисления.
\[S_{\text{треугольника}} = \sqrt{\left(\frac{{6 + 6 + 6}}{2}\right)\left(\left(\frac{{6 + 6 + 6}}{2}\right)-6\right)\left(\left(\frac{{6 + 6 + 6}}{2}\right)-6\right)\left(\left(\frac{{6 + 6 + 6}}{2}\right)-6\right)}\]
\[S_{\text{основания}} = 6 \cdot S_{\text{треугольника}}\]
\[S_{\text{боковой поверхности}} = 6 \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 6\right)\]
\[S_{\text{полной поверхности}} = S_{\text{основания}} + S_{\text{боковой поверхности}}\]

После вычислений мы получаем окончательный ответ, учитывая единицы измерения:

\[S_{\text{полной поверхности}} = ...\]