Какова площадь полной поверхности конуса, если его образующая наклонена к плоскости основания под углом 60 °, а

Петрович

42

Для решения данной задачи, нам потребуется знание фигур на плоскости и формулы для вычисления площади поверхности конуса.

Первым шагом давайте определимся с данными. У нас есть конус, у которого образующая (линия, соединяющая вершину и основание конуса) наклонена к плоскости основания под углом 60°. Это означает, что образующая образует угол 60° с плоскостью основания конуса.

Также нам дано, что в основание конуса вписан треугольник с одной стороной равной 26 см и противолежащим углом. В этом случае мы можем сказать, что одна из сторон треугольника является радиусом основания конуса.

Для решения задачи, нам понадобится формула для вычисления площади поверхности конуса:

\[ S = \pi r (r + l) \]

где S - площадь поверхности конуса, r - радиус основания конуса, l - длина образующей.

Для начала, найдем радиус основания. Поскольку у нас вписанный треугольник, одна из его сторон является радиусом основания. Следовательно, радиус будет равен 26 см.

Осталось найти длину образующей. Образующая - это линия, которая соединяет вершину конуса с точкой на окружности его основания. В нашем случае, угол между образующей и плоскостью основания равен 60°. Так как у нас имеется прямоугольный треугольник, мы можем использовать тригонометрические соотношения.

Для этого нам понадобится формула:

\[ \sin(\theta) = \frac{{\text{{противолежащий катет}}}}{{\text{{гипотенуза}}}} \]

В нашем случае гипотенуза - это образующая конуса, противолежащий катет - это радиус основания, а угол между ними равен 60°. Подставим значения в формулу:

\[ \sin(60°) = \frac{{r}}{{l}} \]

\[ \frac{{\sqrt{3}}}{{2}} = \frac{{26}}{{l}} \]

Теперь найдем длину образующей l:

\[ l = \frac{{26}}{{\frac{{\sqrt{3}}}{{2}}}} \]

\[ l = \frac{{26 \cdot 2}}{{\sqrt{3}}} \]

\[ l = \frac{{52}}{{\sqrt{3}}} \]

Теперь у нас есть все данные для вычисления площади поверхности конуса. Подставим значения в формулу:

\[ S = \pi r (r + l) \]

\[ S = \pi \cdot 26 \left(26 + \frac{{52}}{{\sqrt{3}}}\right) \]

\[ S = 26\pi \left(26 + \frac{{52}}{{\sqrt{3}}}\right) \]

\[ S \approx 943,12 \, \text{см}^2 \]

Таким образом, площадь полной поверхности конуса при данных условиях составляет примерно 943,12 квадратных сантиметра.