Необходимо доказать, что отрезки AC и DM перпендикулярны в прямоугольнике ABCD, где M - середина BC, АВ=1, ВС=√2

Пушистый_Дракончик_6936

20

Для доказательства перпендикулярности отрезков AC и DM в прямоугольнике ABCD, воспользуемся скалярным произведением векторов.

Скалярное произведение двух векторов можно найти как произведение длин векторов на косинус угла между ними. Если скалярное произведение двух векторов равно нулю, то это означает, что угол между ними составляет 90 градусов, а значит, векторы перпендикулярны.

Для начала, обозначим координаты точек A, B, C и M на плоскости. Будем считать, что точка A имеет координаты (0, 0), точка B имеет координаты (1, 0), а точка C имеет координаты (1, √2) (согласно условию задачи).

Середину отрезка BC обозначим точкой M. Поскольку B имеет координаты (1, 0), а C имеет координаты (1, √2), средняя точка M будет иметь координаты (1, √2/2). Теперь у нас есть координаты точек A, C и M.

Чтобы найти векторы АС и DM, вычтем координаты начальной точки из координат конечной точки каждого вектора. Получим:

Вектор АС = (координаты точки C) - (координаты точки A)
= (1, √2) - (0, 0)
= (1, √2)

Вектор DM = (координаты точки M) - (координаты точки D)
= (1, √2/2) - (1, 0)
= (0, √2/2)

Теперь найдем скалярное произведение векторов АС и DM:

АС • DM = (координаты вектора АС) • (координаты вектора DM)
= (1, √2) • (0, √2/2)
= 1 * 0 + √2 * √2/2
= 0 + 2/2
= 1

Заметим, что скалярное произведение векторов АС и DM не равно нулю. Это означает, что угол между векторами не составляет 90 градусов, а значит, векторы AC и DM не перпендикулярны.

Таким образом, мы доказали, что отрезки AC и DM не являются перпендикулярными в прямоугольнике ABCD, используя скалярное произведение векторов.