Какова площадь полной поверхности основания треугольной пирамиды, если угол при ребре основания составляет 30°

Rak_8958

15

Подход для решения данной задачи:
1. Найдем длину стороны треугольника, образующего основание пирамиды.

У нас есть радиус окружности, описанной около основания, который обозначим как R. При угле в 30°, мы знаем, что синус этого угла равен отношению половины основания к радиусу окружности.
\[ \sin 30^\circ = \frac{{\text{{половина основания}}}}{R} \]

С учетом того, что \(\sin 30^\circ = \frac{1}{2}\), мы можем записать:
\[ \frac{1}{2} = \frac{{\text{{половина основания}}}}{R} \]

Проведем преобразования:
\[ \text{{половина основания}} = \frac{1}{2} \cdot R \]
\[ \text{{основание}} = 2 \cdot \text{{половина основания}} \]
\[ \text{{основание}} = 2 \cdot \frac{1}{2} \cdot R \]
\[ \text{{основание}} = R \]

Таким образом, длина стороны треугольника основания равна R.

2. Найдем площадь треугольной грани пирамиды.

Так как основание треугольной пирамиды является равносторонним треугольником со стороной R, мы можем использовать формулу для площади равностороннего треугольника:
\[ \text{{площадь треугольника}} = \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot \text{{сторона}}^2 \]

Подставив R вместо стороны, получаем:
\[ \text{{площадь треугольника}} = \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot R^2 \]

3. Найдем площадь основания пирамиды.

Для этого нужно найти площадь треугольника, образующего основание пирамиды. Мы уже знаем, что площадь такого треугольника равна \(\frac{\sqrt{3}}{4} \cdot R^2\).

4. Найдем площадь боковой поверхности пирамиды.

В пирамиде у нас есть 3 боковых грани-треугольника. Так как каждая треугольная грань имеет площадь \(\frac{\sqrt{3}}{4} \cdot R^2\), площадь боковой поверхности будет составлять:
\[ \text{{площадь боковой поверхности}} = 3 \cdot \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot R^2 \]

5. Найдем площадь полной поверхности пирамиды.

Площадь полной поверхности пирамиды равна сумме площади основания и площади боковой поверхности:
\[ \text{{площадь полной поверхности}} = \text{{площадь основания}} + \text{{площадь боковой поверхности}} \]
\[ \text{{площадь полной поверхности}} = \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot R^2 + 3 \cdot \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot R^2 \]
\[ \text{{площадь полной поверхности}} = \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot R^2 \left( 1 + 3 \right) \]
\[ \text{{площадь полной поверхности}} = \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot R^2 \cdot 4 \]
\[ \text{{площадь полной поверхности}} = \sqrt{3} \cdot R^2 \]

Таким образом, площадь полной поверхности основания треугольной пирамиды равна \(\sqrt{3} \cdot R^2\).