Какова площадь полной поверхности пирамиды, основание которой представляет собой равносторонний треугольник со стороной

Gosha

16

Хорошо, чтобы решить эту задачу, нам нужно найти площади каждой из боковых граней пирамиды, а также площадь основания.

1. Площадь боковых граней:
У нас есть равносторонний треугольник, поэтому все его стороны равны 2 см. Рассмотрим одну из боковых граней и найдем ее площадь.

Площадь треугольника можно найти, умножив половину периметра на радиус вписанной окружности. Радиус вписанной окружности равен \(a/2\), где \(a\) - длина стороны треугольника. Также мы можем использовать формулу Герона.

Периметр равностороннего треугольника равен \(3a\), поэтому его полупериметр будет равен \((3a)/2\).

Чтобы вычислить радиус вписанной окружности, используем формулу:
\[r = \frac{a}{2}\]

Теперь легко можем найти площадь боковой грани с помощью формулы:
\[S_{\text{бок}} = \frac{p \cdot r}{2}\]
где \(p\) - полупериметр треугольника, \(r\) - радиус вписанной окружности.

Подставляем значения и получаем:
\[S_{\text{бок}} = \frac{(3a/2) \cdot (a/2)}{2}\]
\[S_{\text{бок}} = \frac{3a^2}{8}\]

Так как у нас пирамида с четырьмя боковыми гранями, нужно умножить площадь одной боковой грани на 4:
\[S_{\text{бок}}_{\text{общая}} = 4 \cdot S_{\text{бок}}\]
\[S_{\text{бок}}_{\text{общая}} = 4 \cdot \frac{3a^2}{8}\]
\[S_{\text{бок}}_{\text{общая}} = \frac{3a^2}{2}\]

2. Площадь основания:
Основание пирамиды - равносторонний треугольник со стороной 2 см. Чтобы найти площадь треугольника, мы можем использовать формулу для равностороннего треугольника:
\[S_{\text{осн}} = \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot a^2\]
где \(a\) - длина стороны треугольника.

Подставляем значения и получаем:
\[S_{\text{осн}} = \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot 2^2\]
\[S_{\text{осн}} = \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot 4\]
\[S_{\text{осн}} = \sqrt{3}\]

3. Площадь полной поверхности пирамиды:
Чтобы найти площадь полной поверхности, нужно сложить площадь боковых граней и площадь основания:
\[S_{\text{полн}} = S_{\text{бок}}_{\text{общая}} + S_{\text{осн}}\]
\[S_{\text{полн}} = \frac{3a^2}{2} + \sqrt{3}\]

Заменяем значение \(a\) и получаем:
\[S_{\text{полн}} = \frac{3 \cdot 2^2}{2} + \sqrt{3}\]
\[S_{\text{полн}} = \frac{12}{2} + \sqrt{3}\]
\[S_{\text{полн}} = 6 + \sqrt{3}\]

Таким образом, площадь полной поверхности пирамиды равна \(6 + \sqrt{3}\) квадратных сантиметров.

Я надеюсь, ответ был полным и подробным. Если у вас есть еще вопросы, пожалуйста, задавайте.