Какова площадь полной поверхности правильного тетраэдра со стороной

Solnyshko

57

Чтобы найти площадь полной поверхности правильного тетраэдра, нам понадобятся некоторые математические формулы и свойства. Пошагово рассмотрим процесс решения задачи.

Шаг 1: Понимание тетраэдра
Правильный тетраэдр - это трехмерная геометрическая фигура, у которой все грани являются равносторонними треугольниками. У каждого правильного тетраэдра есть четыре грани, шесть ребер и четыре вершины.

Шаг 2: Нахождение высоты тетраэдра
Отличительной особенностью правильного тетраэдра является то, что все высоты, проведенные из вершин тетраэдра к противоположным граням, равны между собой и проходят через одну точку - центр описанной сферы.

Шаг 3: Разбиение поверхности тетраэдра на боковые и основание
Площадь поверхности тетраэдра состоит из площадей его граней. Разобьем поверхность нас шесть треугольных граней: четыре боковые грани и две основания.

Шаг 4: Нахождение площади боковых граней
Так как все грани тетраэдра являются равносторонними треугольниками, то площадь каждой боковой грани будет равна половине произведения длины стороны на соответствующую высоту. Так как треугольник равносторонний, высота равна \(\frac{\sqrt{3}}{2}\) от длины стороны. Таким образом, площадь каждой боковой грани будет равна \(\frac{\sqrt{3}}{4}a^2\).

Шаг 5: Нахождение площади основания
Основание тетраэдра - это правильный треугольник. Для нахождения площади правильного треугольника, мы можем использовать формулу Герона. Пусть \(a\) - сторона треугольника. Площадь основания будет равна \(\frac{\sqrt{3}}{4}a^2\).

Шаг 6: Нахождение площади полной поверхности
Площадь полной поверхности тетраэдра будет равна сумме площадей всех его граней. У нас есть четыре боковые грани и две основания. Таким образом, площадь полной поверхности будет равна \(4\cdot\left(\frac{\sqrt{3}}{4}a^2\right) + 2\cdot\left(\frac{\sqrt{3}}{4}a^2\right) = 2\sqrt{3}a^2\).

Итак, площадь полной поверхности правильного тетраэдра со стороной \(a\) равна \(2\sqrt{3}a^2\).