Какова площадь полной поверхности правильной треугольной пирамиды, если угол между боковыми гранями и основанием

Yakorica_3141

14

Для начала, давайте разберемся с понятием правильной треугольной пирамиды. Это пирамида, у которой основание является равносторонним треугольником, а все боковые грани равны по размеру и равноугольны.

Для решения задачи нам понадобится знать формулу для нахождения площади полной поверхности пирамиды. Площадь полной поверхности пирамиды выражается через сумму площадей её основания и боковых граней. Формула для площади полной поверхности правильной треугольной пирамиды имеет вид:

\[ S = S_{\text{осн}} + S_{\text{бок}} \]

где \( S \) - площадь полной поверхности пирамиды, \( S_{\text{осн}} \) - площадь основания, \( S_{\text{бок}} \) - площадь боковой грани.

Поскольку основание нашей пирамиды является правильным треугольником, мы можем использовать известную формулу для площади правильного треугольника:

\[ S_{\text{осн}} = \frac{{a^2 \sqrt{3}}}{4} \]

где \( a \) - длина стороны треугольника.

Теперь нам нужно найти площадь боковой грани. Для этого нам понадобится радиус описанной окружности вокруг основания пирамиды, который составляет \( R \).

Площадь боковой грани правильной треугольной пирамиды можно найти по формуле:

\[ S_{\text{бок}} = \frac{{a \cdot p}}{2} \]

где \( p \) - полупериметр треугольника, который можно найти, зная радиус описанной окружности:

\[ p = 3R \]

Теперь у нас есть все данные для решения задачи. Значит, можем приступить к вычислениям.

Для начала найдем длину стороны \( a \) треугольника. Поскольку угол между боковыми гранями и основанием составляет 30 градусов, то у нас есть прямоугольный треугольник, у которого один из углов равен 30 градусам, а противоположная этому углу сторона - это радиус описанной окружности \( R \). Зная, что противоположные катеты в прямоугольном треугольнике равны \( R \) и \( a/2 \), мы можем воспользоваться тригонометрическими функциями, чтобы найти сторону \( a \). Используя функцию синуса, мы можем записать:

\[ \sin 30 = \frac{{R}}{{a/2}} \]

\[ \frac{{1}}{{2}} = \frac{{R}}{{a/2}} \]

\[ a/2 = 2R \]

\[ a = 4R \]

Теперь у нас есть длина стороны \( a \), и мы можем вычислить площадь основания \( S_{\text{осн}} \) по известной формуле:

\[ S_{\text{осн}} = \frac{{(4R)^2 \sqrt{3}}}{4} \]

Упрощая, получаем:

\[ S_{\text{осн}} = \sqrt{3} \cdot 4R^2 \]

Теперь найдем площадь боковой грани \( S_{\text{бок}} \). По формуле:

\[ S_{\text{бок}} = \frac{{a \cdot p}}{2} \]

Подставляя значения, получаем:

\[ S_{\text{бок}} = \frac{{4R \cdot 3R}}{2} \]

\[ S_{\text{бок}} = 6R^2 \]

Теперь можем найти площадь полной поверхности пирамиды, сложив площадь основания и площадь боковой грани:

\[ S = S_{\text{осн}} + S_{\text{бок}} \]

\[ S = \sqrt{3} \cdot 4R^2 + 6R^2 \]

\[ S = (4\sqrt{3} + 6)R^2 \]

Таким образом, площадь полной поверхности данной треугольной пирамиды равна \( (4\sqrt{3} + 6)R^2 \) или в более простой форме \( 4\sqrt{3}R^2 + 6R^2 \).