Какова площадь полной поверхности призмы со стороной основания 8 см, вписанной окружностью радиусом √7 см и боковым

Magiya_Morya

61

Для того чтобы решить данную задачу, мы можем воспользоваться формулой для площади полной поверхности призмы. Площадь полной поверхности призмы вычисляется путем сложения площадей всех ее боковых граней и площади основания.

В нашем случае, у нас есть призма, у которой сторона основания равна 8 см, вписанная окружность имеет радиус √7 см, а боковое ребро имеет некоторую длину (обозначим ее за \(a\)).

Для начала, вычислим площадь боковой грани призмы. Боковая грань представляет собой прямоугольник, высота которого равна длине бокового ребра, а ширина - периметру вписанной окружности. Периметр окружности вычисляется по формуле \(P = 2\pi r\), где \(r\) - радиус окружности. В нашем случае, радиус окружности равен \(\sqrt{7}\), следовательно, периметр окружности будет \(P = 2\pi \sqrt{7}\). Таким образом, ширина боковой грани равна \(2\pi \sqrt{7}\), а высота - длине бокового ребра, то есть \(a\). Площадь боковой грани вычисляется как произведение ширины и высоты, то есть \(2\pi \sqrt{7} \cdot a\).

Теперь нам нужно вычислить площадь основания. Основание призмы является правильным восьмиугольником, у которого сторона равна 8 см. Площадь правильного восьмиугольника можно найти с помощью формулы \(S = 2a^2 \cdot (1 + \sqrt{2})\), где \(a\) - длина стороны. Подставив значение стороны, получим \(S_{\text{осн}} = 2 \cdot 8^2 \cdot (1 + \sqrt{2})\).

Чтобы найти площадь полной поверхности призмы, нужно сложить площади боковых граней и площадь основания. То есть, площадь полной поверхности будет \(S_{\text{полн}} = 2\pi \sqrt{7} \cdot a + S_{\text{осн}}\).

Таким образом, мы получили выражение для площади полной поверхности призмы. Оно выглядит следующим образом:
\[S_{\text{полн}} = 2\pi \sqrt{7} \cdot a + 2 \cdot 8^2 \cdot (1 + \sqrt{2})\]

Описанный выше подход к решению задачи дает нам формулу, в которую можно подставить конкретное значение длины бокового ребра \(a\), чтобы найти площадь полной поверхности призмы для данного значения.

Например, если длина бокового ребра равна 10 см, мы можем подставить это значение в формулу:
\[S_{\text{полн}} = 2\pi \sqrt{7} \cdot 10 + 2 \cdot 8^2 \cdot (1 + \sqrt{2})\]
Или, если нам дано конкретное значение длины бокового ребра, мы можем подставить его вместо \(a\) и вычислить площадь полной поверхности призмы.

Важно отметить, что данное решение предполагает, что площади граней призмы выражаются в квадратных сантиметрах. Если данные даны в других единицах измерения, формулы могут потребовать преобразования.