Какова площадь полной поверхности тетраэдра с ребром, равным

Кристина

37

Для решения этой задачи, давайте сначала разберемся, что такое полная поверхность тетраэдра. Полная поверхность тетраэдра состоит из нескольких треугольников, которые образуют его грани. Чтобы найти площадь полной поверхности тетраэдра, нам понадобится знать длину каждой из его граней.

По условию дано, что ребро тетраэдра равно некоторому значению \(a\). У нас есть 4 грани тетраэдра, и каждая грань - это равносторонний треугольник. Вершина тетраэдра - это точка, от которой выходят все ребра тетраэдра, и расстояние от вершины до центра грани - это высота треугольника.

Чтобы выразить площадь полной поверхности тетраэдра через заданное значение ребра \(a\), мы можем воспользоваться формулой для площади равностороннего треугольника. Формула относится к каждой грани тетраэдра и выглядит следующим образом:

\[S_{грани} = \frac{\sqrt{3}}{4}a^2\]

Поскольку у нас есть 4 грани, мы можем использовать эту формулу, чтобы найти площадь каждой грани. Затем мы просто сложим площади всех граней, чтобы получить полную площадь поверхности тетраэдра.

Перейдем к разбору пошагового решения:

Шаг 1: Используем формулу для площади равностороннего треугольника, чтобы найти площадь каждой грани.
\[S_{грани} = \frac{\sqrt{3}}{4}a^2\]

Шаг 2: Поскольку у нас есть 4 грани, мы будем вычислять площадь каждой грани, используя формулу из Шага 1.
Давайте представим грани тетраэдра как A, B, C и D.

Площадь грани A: \[S_A = \frac{\sqrt{3}}{4}a^2\]

Площадь грани B: \[S_B = \frac{\sqrt{3}}{4}a^2\]

Площадь грани C: \[S_C = \frac{\sqrt{3}}{4}a^2\]

Площадь грани D: \[S_D = \frac{\sqrt{3}}{4}a^2\]

Шаг 3: Теперь нам нужно сложить площади всех граней, чтобы получить полную площадь поверхности тетраэдра.
\[S_{полная} = S_A + S_B + S_C + S_D\]

Шаг 4: Заменяем значения площадей граней из Шага 2.
\[S_{полная} = \frac{\sqrt{3}}{4}a^2 + \frac{\sqrt{3}}{4}a^2 + \frac{\sqrt{3}}{4}a^2 + \frac{\sqrt{3}}{4}a^2\]

Шаг 5: Складываем все слагаемые.
\[S_{полная} = 4 \cdot \frac{\sqrt{3}}{4}a^2\]

Замечание: Мы умножаем на 4, так как у нас 4 грани.

Шаг 6: Упрощаем выражение.
\[S_{полная} = \sqrt{3}a^2\]

Таким образом, площадь полной поверхности тетраэдра с ребром \(a\) равна \(\sqrt{3}a^2\). Не забудьте указать единицы измерения, если они указаны в задаче.