Какую разность прогрессии нужно выбрать, чтобы произведение третьего и пятого членов было минимальным, если утроить

Щелкунчик

49

Для решения данной задачи нужно последовательно выполнить несколько шагов.

Шаг 1: Определение прогрессии
Дано, что у нас есть прогрессия. Прогрессия - это последовательность чисел, в которой каждый следующий член получается путем прибавления к предыдущему одного и того же числа, называемого разностью прогрессии.

Предположим, что разность прогрессии равна d.

Шаг 2: Запись условия задачи
Из условия задачи у нас есть несколько фактов:
- Утроенный второй член прогрессии, то есть \(3a_1 + 3d\).
- Четвертый член прогрессии, который равен \(a_1 + 3d\).
- Произведение третьего и пятого членов прогрессии должно быть минимальным.

Условие задачи можно записать следующим образом:
\((a_1 + 2d) \cdot (a_1 + 4d)\) должно быть минимальным.

Шаг 3: Раскрытие скобок
Раскроем скобки и получим:
\(a_1^2 + 6a_1d + 8d^2\)

Шаг 4: Нахождение минимума
Нам нужно найти минимальное значение этого выражения. Заметим, что выражение представляет собой квадратный трином, и чтобы его значение было минимальным, нужно выполнить условие его минимума: коэффициент при квадрате \(a_1\) должен быть положительным.

Шаг 5: Нахождение разности прогрессии
Найдем коэффициенты уравнения квадратного тринома, подставляя наши данные:
коэффициент при \(a_1^2\) равен 1,
коэффициент при \(a_1\) равен 6d,
коэффициент при \(d^2\) равен 8.

Теперь применим условие, чтобы коэффициент при \(a_1^2\) был положительным:
1 > 0

Шаг 6: Определение разности прогрессии
Таким образом, мы получили, что коэффициент при \(a_1\) равен 6d.
Это означает, что разность прогрессии равна 6.

Ответ:
Для того чтобы произведение третьего и пятого членов прогрессии было минимальным, нужно выбрать разность прогрессии, равную 6.