Какова площадь поршня, если идеальный одноатомный газ в количестве ν=0,09 моль находится в равновесии в вертикальном

Vihr

66

Для решения задачи, сначала нам необходимо установить связь между изменением высоты поршня и площадью поршня, используя идеальный газовый закон. Начнем с уравнения состояния идеального газа:

\[pV = nRT\]

где \(p\) - давление газа, \(V\) - объем, \(n\) - количество вещества, \(R\) - универсальная газовая постоянная, \(T\) - температура газа. Давление газа можно записать как сумму внешнего атмосферного давления (\(p_{атм}\)) и давления, создаваемого массой поршня (\(p_{пор}\)):

\[p = p_{атм} + p_{пор}\]

Используя уравнение Паскаля для давления в жидкости, можно записать:

\[p_{пор} = \frac{{F}}{A}\]

где \(F\) - сила, действующая на поршень, \(A\) - площадь поршня. Так как масса поршня много меньше массы газа, мы можем пренебречь массой поршня в выражении для силы. Тогда сила равна \(F = mg\), где \(m\) - масса поршня, \(g\) - ускорение свободного падения.

Теперь мы можем записать уравнение идеального газа в следующей форме:

\[pV = nRT = (p_{атм} + p_{пор})V\]

Изолируя площадь поршня \(A\), получаем:

\[A = \frac{{nRT}}{(p_{атм} + p_{пор})}\]

Теперь мы можем выразить \(p_{пор}\) через изменение высоты поршня. Разница в высоте поршня обусловлена разностью в давлении на двух сторонах поршня. Используя формулу для давления в жидкости, можно записать:

\[p_{пор} = \rho gh\]

где \(\rho\) - плотность жидкости, \(g\) - ускорение свободного падения, \(h\) - изменение высоты поршня.

Теперь мы можем подставить это выражение для \(p_{пор}\) в формулу для площади поршня:

\[A = \frac{{nRT}}{{p_{атм} + \rho gh}}\]

Из условия задачи дана высота поршня \(\delta h = 4\) см, и внешнее атмосферное давление \(p = 100\) кПа, что можно записать в СИ единицах как \(p_{атм} = 100 \times 10^3\) Па. Температурное изменение \(\delta t = 16\) К.

Теперь подставим значения в формулу:

\[A = \frac{{0,09 \times 8,314 \times (273 + 16)}}{{100 \times 10^3 + 5 \times 9,8 \times 0,09 \times 0,04}}\]

Подсчитаем это выражение:

\[A \approx 2,51 \, \text{м}^2\]

Таким образом, площадь поршня составляет примерно \(2,51 \, \text{м}^2\).