Какова площадь поверхности конической крыши башни высотой 2 метра и диаметром 6 метров?

Магический_Замок

61

Коническая крыша представляет собой объемную фигуру, состоящую из круглой площадки (основания) и боковой поверхности, которая сходится к вершине. Для решения данной задачи, нам потребуется вычислить площадь основания и боковой поверхности, а затем сложить их вместе.

Шаг 1: Найдем площадь основания крыши.
Площадь основания круга можно вычислить, зная его диаметр или радиус. В данной задаче диаметр основания равен 6 метрам, что означает, что радиус равен половине диаметра. Найдем радиус по формуле: \(r = \frac{d}{2}\)

Для нашей задачи радиус будет равен: \(r = \frac{6}{2} = 3\) метра.

Теперь, используя формулу для площади круга \(S = \pi \cdot r^2\), найдем площадь основания крыши: \(S_{\text{основания}} = \pi \cdot 3^2\)

Шаг 2: Найдем площадь боковой поверхности крыши.
Для этого нам необходимо вычислить окружность, образующую боковую поверхность конической крыши. Для этого нужно вычислить длину окружности основания конуса.

Длина окружности вычисляется по формуле: \(C = 2 \cdot \pi \cdot r\)

В нашем случае значение радиуса равно 3 метра, значит, длина окружности будет равна: \(C = 2 \cdot \pi \cdot 3\)

Теперь зная высоту конуса, которая равна 2 метрам, мы можем найти площадь боковой поверхности конической крыши по формуле: \(S_{\text{боковой поверхности}} = \pi \cdot r \cdot l\), где \(l\) - это длина образующей конуса.

Высота конуса и образующая, которую мы ищем, образуют прямоугольный треугольник. Мы можем использовать теорему Пифагора, чтобы найти длину образующей. Формула теоремы Пифагора выглядит так: \(l = \sqrt{r^2 + h^2}\).

Подставим значения радиуса и высоты: \(l = \sqrt{3^2 + 2^2}\)

Шаг 3: Найдем площадь боковой поверхности: \(S_{\text{боковой поверхности}} = \pi \cdot 3 \cdot \sqrt{3^2 + 2^2}\)

Шаг 4: Найдем общую площадь поверхности конической крыши, сложив площадь основания и площадь боковой поверхности: \(S_{\text{общая}} = S_{\text{основания}} + S_{\text{боковой поверхности}}\)

Теперь давайте подставим значения и посчитаем:
\(S_{\text{основания}} = \pi \cdot 3^2 = 9\pi\) (квадратных метров)
\(l = \sqrt{3^2 + 2^2} = \sqrt{9 + 4} = \sqrt{13}\) (метров)
\(S_{\text{боковой поверхности}} = \pi \cdot 3 \cdot \sqrt{13}\) (квадратных метров)

И, наконец, \(S_{\text{общая}} = 9\pi + \pi \cdot 3 \cdot \sqrt{13} = 9\pi + 3\pi\sqrt{13}\) (квадратных метров).

Таким образом, площадь поверхности конической крыши башни составляет \(9\pi + 3\pi\sqrt{13}\) квадратных метров.