Какова площадь поверхности пирамиды, если ее основание - равносторонний треугольник со стороной длиной 16 см, одна

Raduzhnyy_List

47

Чтобы найти площадь поверхности пирамиды, нужно сложить площади всех ее боковых граней, а затем добавить площадь основания.

Дано, что основание пирамиды - равносторонний треугольник со стороной длиной 16 см. Также известно, что одна из боковых граней является равносторонним треугольником, перпендикулярным основанию. Пусть сторона этого треугольника равна a.

Чтобы найти сторону равностороннего треугольника, составляющего другие две боковые грани с основанием, рассмотрим треугольник, образованный одной боковой гранью, высотой пирамиды и стороной основания. Этот треугольник - прямоугольный треугольник со сторонами a и высотой пирамиды.

Мы знаем, что пирамида имеет две боковые грани, образующие с основанием равные углы, поэтому этот прямоугольный треугольник является половиной равностороннего треугольника, вписанного в окружность радиусом, равным высоте пирамиды. Таким образом, высота пирамиды также является радиусом вписанной окружности.

Чтобы найти высоту пирамиды, мы можем использовать формулу для высоты равностороннего треугольника: \[h = \frac{a \sqrt{3}}{2}\]

Теперь у нас есть все данные, чтобы рассчитать площадь поверхности пирамиды. Давайте это сделаем по шагам:

1. Вначале найдем сторону a равностороннего треугольника. Поскольку основание пирамиды - равносторонний треугольник со стороной 16 см, то a = 16 см.

2. Далее найдем высоту пирамиды h. Подставим a = 16 см в формулу высоты равностороннего треугольника: \[h = \frac{16 \cdot \sqrt{3}}{2} = 8\sqrt{3} \, \text{см}\]

3. Теперь найдем площадь боковой поверхности пирамиды. Она состоит из трех равносторонних треугольников: двух треугольников, образованных боковыми гранями и основанием, и одного треугольника, образованного боковой гранью и высотой пирамиды. Площадь одного равностороннего треугольника можно найти по формуле: \[S_{\text{тр}} = \frac{a^2 \sqrt{3}}{4}\]

4. Найдем площадь одной боковой грани: \[S_{\text{бок}} = \frac{16^2 \sqrt{3}}{4} = 64\sqrt{3} \, \text{см}^2\]

5. Так как у пирамиды одна боковая грань перпендикулярна основанию, то площадь этой грани будет равна \(\frac{1}{2}\) площади площади одной боковой грани, то есть \[\frac{1}{2} \cdot S_{\text{бок}} = \frac{1}{2} \cdot 64\sqrt{3} = 32\sqrt{3} \, \text{см}^2\]

6. Наконец, найдем площадь основания пирамиды. Она равна площади равностороннего треугольника с длиной стороны 16 см: \[S_{\text{осн}} = \frac{16^2 \sqrt{3}}{4} = 64\sqrt{3} \, \text{см}^2\]

7. Суммируем площади боковых граней и площадь основания: \[S_{\text{пов}} = 2 \cdot (32\sqrt{3}) + 64\sqrt{3} = 64\sqrt{3} \, \text{см}^2\]

Таким образом, площадь поверхности пирамиды равна \(64\sqrt{3} \, \text{см}^2\).