Какова площадь поверхности, полученной при вращении равнобедренного прямоугольного треугольника с катетом 8 см вокруг

Сокол

68

Чтобы найти площадь поверхности, полученной при вращении равнобедренного прямоугольного треугольника вокруг его симметричной оси, мы можем использовать метод цилиндра-цилиндроида. Давайте разобьем задачу на несколько шагов.

Шаг 1: Найти высоту треугольника
В данной задаче у нас равнобедренный прямоугольный треугольник, поэтому высота будет являться вторым катетом треугольника. Согласно условию задачи, второй катет равен 8 см.

Шаг 2: Найти площадь основания
Основание цилиндра – это гипотенуза треугольника, которая равна \(\sqrt{8^2+8^2} = \sqrt{64+64} = \sqrt{128} = 8\sqrt{2}\) см.

Шаг 3: Найти длину окружности
Длина окружности – это периметр полученного основания треугольника. Поскольку треугольник равнобедренный, его периметр будет составлять \(2a + c\), где \(a\) – это длина катета, а \(c\) – длина гипотенузы. Здесь \(2a = 2\cdot8 = 16\) см, а \(c = 8\sqrt{2}\) см. Таким образом, периметр равен \(16 + 8\sqrt{2}\) см.

Шаг 4: Найти площадь поверхности
Площадь поверхности можно найти по формуле: \(S = 2\pi R h + \pi R^2\), где \(R\) – это радиус цилиндра, а \(h\) – его высота. В данном случае, радиус равен половине длины окружности, то есть \(R = \frac{1}{2}(16 + 8\sqrt{2}) = 8 + 4\sqrt{2}\) см.

Подставляем значения в формулу и получаем площадь поверхности:
\[S = 2\pi (8 + 4\sqrt{2}) \cdot 8 + \pi (8 + 4\sqrt{2})^2\]

Выполняя расчеты, получаем числовое значение площади поверхности.

Вот таким образом мы можем найти площадь поверхности, полученной при вращении равнобедренного прямоугольного треугольника с катетом 8 см вокруг его симметричной оси. Это достаточно сложная задача, но при тщательных расчетах она может быть решена.