Какова площадь поверхности правильной четырёхугольной пирамиды, если длина сторон основания равна 80 и длина боковых

Morozhenoe_Vampir

65

Чтобы найти площадь поверхности правильной четырёхугольной пирамиды, нам понадобится знать формулу для вычисления площади поверхности пирамиды. Формула имеет вид:

\[S = S_\text{осн.} + S_\text{бок.}\]

Где \(S\) - площадь поверхности пирамиды, \(S_\text{осн.}\) - площадь основания пирамиды, \(S_\text{бок.}\) - площадь боковой поверхности пирамиды.

Для нашей задачи, у нас равносторонний четырёхугольник, поэтому мы можем использовать формулу для площади четырёхугольника. Формула для площади четырёхугольника выглядит следующим образом:

\[S = \frac{1}{2} \times \text{периметр} \times \text{апофема}\]

Где \(\text{периметр}\) - периметр четырёхугольника, \(\text{апофема}\) - апофема четырёхугольника.

У нас есть длины сторон основания равные 80, а длина боковых рёбер равна 104. Поскольку четырехугольник равносторонний, это означает, что все стороны основания имеют одинаковую длину. Периметр четырехугольника равен умножению длины одной стороны на 4:

\[\text{периметр} = 80 \times 4 = 320\]

Апофема четырёхугольника можно найти, используя теорему Пифагора. Апофема является гипотенузой прямоугольного треугольника, а его катеты - половина длины одной из сторон основания и высота четырехугольной пирамиды. Мы уже знаем, что длина одной стороны основания равна 80. Чтобы найти высоту пирамиды, мы можем воспользоваться теоремой Пифагора:

\[h^2 = a^2 - \left(\frac{a}{2}\right)^2\]

Где \(h\) - высота пирамиды, \(a\) - длина одной из сторон основания.

Вставим известные значения и решим уравнение:

\[h^2 = 80^2 - \left(\frac{80}{2}\right)^2\]
\[h^2 = 6400 - 1600\]
\[h^2 = 4800\]
\[h = \sqrt{4800} \approx 69.28\]

Теперь у нас есть все необходимые значения, чтобы вычислить площадь поверхности пирамиды:

\[S = S_\text{осн.} + S_\text{бок.}\]

Площадь основания для нашей пирамиды равна площади четырехугольника:

\[S_\text{осн.} = \frac{1}{2} \times \text{периметр} \times \text{апофема}\]
\[S_\text{осн.} = \frac{1}{2} \times 320 \times 69.28\]

Площадь боковой поверхности пирамиды можно найти, зная длину боковых ребер. Для равносторонней пирамиды площадь боковой поверхности равна половине произведения периметра основания на длину бокового ребра:

\[S_\text{бок.} = \frac{1}{2} \times \text{периметр} \times \text{длина бокового ребра}\]
\[S_\text{бок.} = \frac{1}{2} \times 320 \times 104\]

Теперь, когда мы знаем значения, мы можем вычислить площадь поверхности пирамиды:

\[S = S_\text{осн.} + S_\text{бок.}\]

Вставим значения:

\[S = \frac{1}{2} \times 320 \times 69.28 + \frac{1}{2} \times 320 \times 104\]

Вычислим значения:

\[S = 11054.88 + 16640\]
\[S = 27694.88\]

Итак, площадь поверхности правильной четырёхугольной пирамиды равна 27694.88.