Какова площадь поверхности сферы, если: а) длина большей окружности равна 6 √π м. б) радиусы двух параллельных сечений

Золотой_Лист

39

Для решения этой задачи используем известную формулу для площади поверхности сферы:

\[S = 4\pi r^2\]

где \(S\) - площадь поверхности сферы, \(\pi\) - математическая постоянная, а \(r\) - радиус сферы.

а) У нас дана длина большей окружности \(C\), которая равна 6√π метров. Отметим, что окружность - это сечение сферы плоскостью, и самая длинная окружность называется большой окружностью.

Мы можем использовать формулу связи длины окружности с радиусом:

\[C = 2\pi r\]

где \(C\) - длина окружности, \(\pi\) - математическая постоянная, а \(r\) - радиус окружности.

Распишем данное соотношение и найдем радиус сферы:

\[6\sqrt{\pi} = 2\pi r\]

Делим обе части уравнения на \(2\pi\):

\[3\sqrt{\pi} = r\]

Теперь, найдя значение радиуса, мы можем подставить его в формулу площади поверхности сферы:

\[S = 4\pi (3\sqrt{\pi})^2\]

Упростим выражение в скобках, возводив в квадрат и получим:

\[S = 4\pi \cdot 9\pi\]

Умножим числа 4 и 9:

\[S = 36\pi^2\]

Таким образом, площадь поверхности сферы будет равна \(36\pi^2\), где \(\pi\) - математическая постоянная.

б) В этой части задачи у нас даны радиусы двух параллельных сечений, которые отстоят на 3 см. Обозначим эти радиусы как \(r_1\) и \(r_2\).

Мы знаем, что для параллельных сечений радиусы находятся в пропорции:

\[\frac{r_1}{r_2} = \frac{R_1}{R_2}\]

где \(R_1\) и \(R_2\) - радиусы сферы в местах параллельных сечений.

Подставим заданные значения радиусов в пропорцию:

\[\frac{r_1}{r_2} = \frac{9}{9 + 3}\]

Упростим пропорцию:

\[\frac{r_1}{r_2} = \frac{9}{12}\]

Теперь найдем значение радиуса \(r_1\), подставив \(r_2\) и значения пропорции в уравнение:

\[r_1 = r_2 \cdot \frac{9}{12}\]

Теперь, когда у нас есть радиус \(r_1\), мы можем использовать формулу площади поверхности сферы:

\[S = 4\pi r_1^2\]

Подставим значение радиуса:

\[S = 4\pi \left(r_2 \cdot \frac{9}{12}\right)^2\]

Упростим выражение в скобках и возводим в квадрат:

\[S = 4\pi \left(\frac{3r_2}{4}\right)^2\]

Умножим числа 4 и 3:

\[S = 4\pi \left(\frac{9r_2^2}{16}\right)\]

Таким образом, площадь поверхности сферы будет равна \(4\pi \cdot \frac{9r_2^2}{16}\), где \(\pi\) - математическая постоянная и \(r_2\) - значение радиуса.