Какова площадь прямоугольника, если он вращается вокруг одной из своих сторон, длина которой составляет 5 см, и площадь

Фея

55

Чтобы определить площадь прямоугольника, который вращается вокруг одной из своих сторон, мы должны рассмотреть, каким образом это вращение создает цилиндр. Мы знаем, что длина стороны прямоугольника, вокруг которой происходит вращение, равна 5 см.

Площадь боковой поверхности цилиндра можно рассчитать по формуле:

\[ S_{\text{бок}} = 2\pi R h \]

где \( S_{\text{бок}} \) - площадь боковой поверхности цилиндра, \( R \) - радиус основания цилиндра и \( h \) - высота цилиндра.

Дано, что \( S_{\text{бок}} = 100\pi \) см². Мы хотим найти площадь прямоугольника, поэтому нам нужно выразить площадь боковой поверхности цилиндра через стороны прямоугольника.

Поскольку цилиндр образуется вращением прямоугольника вокруг стороны длиной 5 см, радиус основания цилиндра будет равен половине длины стороны прямоугольника (так как сторона будет служить диаметром цилиндра).

Тогда \( R = \frac{5}{2} = 2.5 \) см.

Теперь, используя формулу для площади боковой поверхности цилиндра, мы можем выразить площадь прямоугольника:

\[ S_{\text{бок}} = 2\pi R h \]

\[ 100\pi = 2\pi \cdot 2.5 \cdot h \]

Делим обе части уравнения на \( 2\pi \cdot 2.5 \) для получения значения высоты \( h \):

\[ h = \frac{100\pi}{2\pi \cdot 2.5} \]

\[ h = \frac{100}{2 \cdot 2.5} \]

\[ h = \frac{100}{5} \]

\[ h = 20 \]

Таким образом, высота цилиндра равна 20 см. Для прямоугольника, вращающегося вокруг своей стороны длиной 5 см, площадь равна \( 20 \cdot 5 = 100 \) см². Что и требовалось найти.