Какова площадь прямоугольника, если радиус описанной около него окружности составляет 6, а один из углов между стороной

Вулкан

54

Для решения этой задачи нам понадобится знание свойств прямоугольника и окружности. Начнем с рассмотрения свойств окружности.

Первое свойство: радиус описанной около прямоугольника окружности проходит через середины сторон прямоугольника. Из этого следует, что диагонали прямоугольника являются диаметрами окружности.

Второе свойство: все радиусы окружности (в том числе и описанной около прямоугольника) равны между собой.

Теперь рассмотрим прямоугольник. Пусть одна из его сторон равна a, а другая сторона - b.

Известно, что угол между стороной прямоугольника и диагональю равен \(\alpha\). Это означает, что мы имеем дело с прямоугольным треугольником, в котором один из углов равен \(\alpha\).

Добавим в наш рисунок радиус-вектор описанной около прямоугольника окружности:

\[
\begin{array}{l}
|
\overrightarrow{OA}
| = r, \\
|
\overrightarrow{OD}
| = r, \\
|
\overrightarrow{OB}
| = a, \\
|
\overrightarrow{OC}
| = b, \\
\angle AOB = \alpha.
\end{array}
\]

Так как угол \(\angle AOB\) равен \(\alpha\), а угол \(\angle OAB\) - прямой, имеем углы \(\angle ABO\) и \(\angle BAO\) равные \((90^\circ - \alpha)\).

Теперь можно рассмотреть прямоугольный треугольник \(\triangle AOB\). Из геометрических свойств прямоугольного треугольника следует, что

\[
\begin{array}{l}
\sin \angle ABO = \frac{a}{r}, \\
\sin \angle BAO = \frac{b}{r},
\end{array}
\]

где \(r\) - радиус окружности.

Так как \(\sin \angle ABO = \sin \angle BAO\), получим:

\[
\frac{a}{r} = \frac{b}{r}.
\]

Уберем общий знаменатель \(r\) и получим:

\[
a = b.
\]

Таким образом, получаем, что прямоугольник является квадратом со стороной \(a\), равной стороне \(b\) и равной радиусу описанной около него окружности.

Теперь мы можем рассчитать площадь прямоугольника, зная, что сторона равна 6:

\[
\mathrm{Площадь} = a \times b = 6 \times 6 = 36.
\]

Таким образом, площадь прямоугольника равна 36 квадратным единицам.