Какова площадь прямоугольника с диагональю d=10 и углом 75 градусов?

Raduzhnyy_Sumrak

60

Хорошо, давайте решим эту задачу пошагово.

1. Начнем с изображения прямоугольника с диагональю \(d = 10\) и углом 75 градусов:

\[
\begin{array}{cc}
& \hspace{1.5cm}d \\
& \hspace{0.5cm}\longrightarrow \\
& \hspace{0.5cm} \begin{array}{|c}
\hspace{1.2cm} \\
\hspace{1.2cm} \\
\hspace{1.2cm} \\
\end{array} \\
\hspace{1.2cm}A \hspace{0.5cm}B \hspace{0.5cm} C
\end{array}
\]

Здесь \(AB\) и \(AC\) являются сторонами прямоугольника, \(BC\) - его диагональ.

2. Мы знаем, что треугольник \(ABC\) является прямоугольным. Поэтому, используя угол \(75\) градусов, мы можем разделить его на два прямоугольных треугольника \(ABC_1\) и \(ABC_2\) следующим образом:

\[
\begin{array}{cc}
& \hspace{1.5cm}d \\
& \hspace{0.5cm}\longrightarrow \\
& \hspace{0.5cm} \begin{array}{|c}
\hspace{1.2cm} \\
\hspace{1.2cm} \end{array} \\
\hspace{1.2cm}A \hspace{0.5cm}B \hspace{1cm} C_1 \\
& \hspace{0.5cm} \\
& \hspace{0.5cm} \\
& \hspace{1.2cm} C_2
\end{array}
\]

3. Теперь рассмотрим треугольник \(ABC_1\). Угол \(BAC_1\) равен \(90 - 75 = 15\) градусов. Также, мы знаем, что \(AC_1 = BC_1 = \frac{d}{2} = \frac{10}{2} = 5\). Используя формулу площади треугольника \(S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b \cdot \sin(\angle BAC_1)\), мы можем найти площадь треугольника \(ABC_1\):

\[
S_{ABC_1} = \frac{1}{2} \cdot AC_1 \cdot BC_1 \cdot \sin(\angle BAC_1)
\]

\[
S_{ABC_1} = \frac{1}{2} \cdot 5 \cdot 5 \cdot \sin(15^\circ)
\]

4. Теперь рассмотрим треугольник \(ABC_2\). Угол \(BAC_2\) также равен \(15\) градусов, так как треугольники \(ABC_1\) и \(ABC_2\) являются зеркальными отражениями друг друга. Поэтому, площадь треугольника \(ABC_2\) также равна \(S_{ABC_1}\).

5. Общая площадь прямоугольника \(ABCD\) равна сумме площадей треугольников \(ABC_1\) и \(ABC_2\):

\[
S_{ABCD} = 2 \cdot S_{ABC_1} = 2 \cdot \frac{1}{2} \cdot 5 \cdot 5 \cdot \sin(15^\circ)
\]

Теперь можем вычислить значение:

\[
S_{ABCD} = 5 \cdot 5 \cdot \sin(15^\circ)
\]