В треугольнике abc, где угол c равен 30° и ab = 16, требуется найти радиус окружности, описанной около этого

Sarancha

45

Чтобы найти радиус окружности, описанной около треугольника, нам понадобится использовать свойства описанного окружности треугольника. Одно из этих свойств гласит, что радиус описанной окружности равен отношению длины любой стороны треугольника к удвоенной площади треугольника.

Для начала, давайте найдем площадь треугольника abc. Мы знаем, что угол c равен 30°, а длина стороны ab равна 16. Чтобы найти площадь треугольника, мы можем использовать формулу:
\[Площадь = \frac{{1}}{{2}} \cdot a \cdot b \cdot \sin(c)\]
где a и b - длины двух сторон треугольника, а c - угол между этими сторонами.

В данном случае, стороной a является ac, а стороной b является bc. Так как у нас только известна длина стороны ab, мы должны использовать свойство синуса, чтобы найти длины сторон ac и bc. Мы знаем, что угол c равен 30°, поэтому мы можем использовать соответствующий острый угол треугольника, чтобы найти длины сторон ac и bc.

По определению, синус угла равен отношению противоположной стороны к гипотенузе. В нашем случае, сторона ac - это противоположная сторона к углу с, и сторона ab - это гипотенуза.
Мы можем использовать эту формулу, чтобы найти длину стороны ac:
\[ac = ab \cdot \sin(c)\]

Аналогичным образом мы можем найти длину стороны bc:
\[bc = ab \cdot \sin(c)\]

Теперь у нас есть все необходимые значения для вычисления площади треугольника.

\[Площадь = \frac{{1}}{{2}} \cdot ac \cdot bc \cdot \sin(c)\]
\[Площадь = \frac{{1}}{{2}} \cdot ab \cdot \sin(c) \cdot ab \cdot \sin(c)\]

Применим эти значения в формулу:
\[Площадь = \frac{{1}}{{2}} \cdot 16 \cdot \sin(30°) \cdot 16 \cdot \sin(30°)\]

Вычислим выражение в скобках:
\[Площадь = \frac{{1}}{{2}} \cdot 16 \cdot \frac{{1}}{{2}} \cdot 16 \cdot \frac{{1}}{{2}} = 64 \cdot \frac{{1}}{{4}} = 16\]

Таким образом, площадь треугольника равна 16.

Теперь мы готовы найти радиус окружности, описанной около этого треугольника.

Радиус описанной окружности равен отношению длины любой стороны треугольника к удвоенной площади треугольника.

В данном случае, мы можем использовать длину стороны ab:
\[Радиус = \frac{{ab}}{{2 \cdot Площадь}}\]
\[Радиус = \frac{{16}}{{2 \cdot 16}}\]
\[Радиус = \frac{{1}}{{2}}\]

Таким образом, радиус окружности, описанной около треугольника abc, равен \(\frac{{1}}{{2}}\).