Какова площадь прямоугольного участка, если его периметр составляет 280 метров, а диагональ равна 100 метрам?

Sumasshedshiy_Sherlok

45

Чтобы решить данную задачу, давайте воспользуемся некоторыми свойствами прямоугольников.

Первым шагом будет составление уравнений, используя информацию, данную в задаче.

Пусть \( a \) и \( b \) - длины сторон прямоугольника, а \( P \) - его периметр, который равен 280 метрам.
Тогда, по свойству периметра, у нас будет следующее уравнение:

\[ P = 2a + 2b \]

Учитывая, что у нас прямоугольный участок, мы также можем использовать теорему Пифагора, чтобы связать длины сторон прямоугольника с диагональю. По теореме Пифагора, квадрат длины диагонали равен сумме квадратов длин его сторон.
Таким образом, мы можем составить еще одно уравнение:

\[ a^2 + b^2 = d^2 \]

Где \( d \) - длина диагонали, равная 100 метрам.

Теперь у нас есть система из двух уравнений, которую мы можем решить для определения значений \( a \) и \( b \).

Давайте решим уравнение \( P = 2a + 2b \) относительно одной переменной. Выразим \( b \):

\[ b = \frac{{P - 2a}}{2} \]

Теперь мы можем подставить это значение во второе уравнение:

\[ a^2 + \left(\frac{{P - 2a}}{2}\right)^2 = d^2 \]

Распишем выражение:

\[ a^2 + \frac{{(P - 2a)^2}}{4} = d^2 \]

Упростим уравнение, возводя каждое слагаемое в квадрат:

\[ a^2 + \frac{{P^2 - 4aP + 4a^2}}{4} = d^2 \]

Приведем подобные слагаемые:

\[ \frac{5a^2 - 4aP + P^2}{4} = d^2 \]

Перенесем все слагаемые влево:

\[ 5a^2 - 4aP + P^2 - 4d^2 = 0 \]

Это квадратное уравнение относительно переменной \( a \). Теперь мы можем использовать формулу для нахождения корней квадратного уравнения:

\[ a = \frac{{-b \pm \sqrt{{b^2 - 4ac}}}}{2a} \]

Соответственно, у нас:

\[ a = \frac{{4P \pm \sqrt{{16P^2 - 80(P^2 - 4d^2)}}}}{10} \]

Теперь, если мы подставим значение периметра \( P = 280 \) и диагонали \( d = 100 \), мы сможем рассчитать значения \( a \) и \( b \).

Вычислим:

\[ a = \frac{{4 \cdot 280 \pm \sqrt{{16 \cdot 280^2 - 80(280^2 - 4 \cdot 100^2)}}}}{10} \]

\[ a = \frac{{1120 \pm \sqrt{{16 \cdot 280^2 - 80(280^2 - 4 \cdot 100^2)}}}}{10} \]

\[ a = \frac{{1120 \pm \sqrt{{16 \cdot 280^2 - 80(280^2 - 160000)}}}}{10} \]

\[ a = \frac{{1120 \pm \sqrt{{16 \cdot 280^2 - 80(280^2 - 160000)}}}}{10} \]

\[ a = \frac{{1120 \pm \sqrt{{16 \cdot 280^2 - 80 \cdot 280^2 + 80 \cdot 160000)}}}}{10} \]

\[ a = \frac{{1120 \pm \sqrt{{44800^2)}}}}{10} \]

Поскольку \(\sqrt{{44800^2}} = 44800\), можно упростить:

\[ a = \frac{{1120 \pm 44800}}{10} \]

Теперь найдем два возможных значения \( a \):

\[ a_1 = \frac{{1120 + 44800}}{10} = 4592 \]

\[ a_2 = \frac{{1120 - 44800}}{10} = -3368 \]

Так как сторона не может быть отрицательной, отбросим отрицательное значение:

\[ a = 4592 \]

Далее, подставим это значение в исходное уравнение \( P = 2a + 2b \), чтобы найти \( b \):

\[ 280 = 2 \cdot 4592 + 2b \]

\[ 280 - 2 \cdot 4592 = 2b \]

\[ -8904 = 2b \]

\[ b = \frac{{-8904}}{2} \]

\[ b = -4452 \]

Таким образом, наше окончательное решение:

Длина прямоугольника составляет 4592 метра, а ширина - 4452 метра. Чтобы найти площадь, мы умножаем эти два значения:

\[ S = a \cdot b = 4592 \cdot 4452 = 204060384 \]

Таким образом, площадь прямоугольного участка равна 204060384 квадратным метрам.