Какова площадь прямоугольной трапеции, у которой меньшая основа составляет 4 см, меньшая боковая сторона равна 16

Золотая_Пыль

3

Для решения этой задачи мы можем использовать формулу для площади трапеции.

Формула для площади трапеции выглядит следующим образом:

\[S = \frac{{a + b}}{2} \cdot h\]

где \(a\) и \(b\) - основания трапеции, \(h\) - высота трапеции, и \(S\) - искомая площадь.

В нашем случае, меньшая основа составляет 4 см (\(a = 4\)), меньшая боковая сторона равна 16 см, а большая боковая сторона образует угол 45 градусов с основанием.

Так как у нас нет высоты, нам нужно ее найти. Заметим, что большая боковая сторона и основание трапеции образуют прямой угол, так как угол между ними равен 45 градусов. Значит, если мы найдем высоту треугольника, образованного основанием, большей боковой стороной и высотой, то она будет равна высоте трапеции.

Рассмотрим этот треугольник. У него уже известны катеты: меньшая основа - 4 см, и меньшая боковая сторона - 16 см. Чтобы найти высоту треугольника, мы можем использовать теорему Пифагора:

\[c^2 = a^2 + b^2\]

где \(c\) - гипотенуза треугольника, \(a\) и \(b\) - катеты.

Применяя теорему Пифагора, получим:

\[h^2 = 16^2 - 4^2\]

\[h^2 = 256 - 16\]

\[h^2 = 240\]

\[h = \sqrt{240}\]

Теперь, когда мы нашли высоту треугольника (\(h\)), мы можем вычислить площадь трапеции, используя формулу:

\[S = \frac{{a + b}}{2} \cdot h\]

Подставим известные значения:

\[S = \frac{{4 + 16}}{2} \cdot \sqrt{240}\]

\[S = \frac{{20}}{2} \cdot \sqrt{240}\]

\[S = 10 \cdot \sqrt{240}\]

Упрощая выражение, получим:

\[S = 10 \sqrt{16 \cdot 15} = 10 \cdot 4 \cdot \sqrt{15} = 40 \sqrt{15}\]

Таким образом, площадь прямоугольной трапеции равна \(40\sqrt{15}\) квадратных сантиметров.