Какова площадь равнобедренной трапеции с диагональю 10 и острым углом равным 45°?

Zvezdnyy_Lis

24

Хорошо, давайте решим эту задачу пошагово.

1. Начнем с построения равнобедренной трапеции. Равнобедренная трапеция имеет две пары равных сторон. Обозначим верхнюю основу равнобедренной трапеции как \(a\) и нижнюю основу как \(b\).

2. Так как острым углом в трапеции является 45°, это означает, что диагонали трапеции равны. Обозначим длину одной диагонали как \(d\), в данном случае длина диагонали равна 10.

3. Мы можем разделить трапецию на два прямоугольных треугольника, используя диагональ. Попробуем нарисовать это.



4. Как мы видим на рисунке, диагональ делит равнобедренную трапецию на два прямоугольных треугольника. Кроме того, каждый из этих треугольников имеет угол 45°, так как он является острым углом равнобедренной трапеции.

5. Мы можем использовать особенности прямоугольных треугольников для нахождения высоты и основания одного из этих треугольников. Высота прямоугольного треугольника соответствует высоте трапеции, а основание прямоугольного треугольника равно половине основания трапеции.

6. Так как данный треугольник состоит из двух равных сторон, и против угла 45° находится противолежащая сторона, мы можем использовать свойство равнобедренности треугольника для нахождения высоты \(h\) и половины основания.

7. Пусть \(h\) будет высотой треугольника, а \(x\) будет половиной длины основания. Тогда мы можем записать следующие равенства:

\(\cos(45°) = \frac{x}{h}\) (определение косинуса)

\(x = h \cdot \cos(45°)\)

8. Мы знаем, что \(\cos(45°) = \frac{\sqrt{2}}{2}\), поэтому мы можем заменить его в формуле:

\(x = h \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}\)

9. Соединим эти формулы и подставим значение диагонали:

\(2x + b = d\)

\(2 \cdot (h \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}) + b = 10\)

\(h \cdot \sqrt{2} + b = 10\)

10. Мы также знаем, что стороны трапеции равны, поэтому \(a = b\). Заменим \(b\) на \(a\) в уравнении:

\(h \cdot \sqrt{2} + a = 10\)

11. Мы не можем решить это уравнение, так как у нас есть две неизвестные величины \(h\) и \(a\), поэтому нам нужно еще одно уравнение. Мы можем использовать формулу площади трапеции:

\(S = \frac{(a+b)h}{2}\)

Так как \(a = b\), мы можем упростить это до:

\(S = \frac{2ah}{2} = ah\)

12. Мы знаем, что площадь трапеции равна \(S = ah\), поэтому мы можем записать это уравнение:

\(ah = 10 - h \cdot \sqrt{2}\)

\(ah + h \cdot \sqrt{2} = 10\)

13. Теперь у нас есть два уравнения:

\(h \cdot \sqrt{2} + a = 10\)

\(ah + h \cdot \sqrt{2} = 10\)

Мы можем решить эту систему уравнений методом подстановки или методом сложения/вычитания.

14. Сначала решим первое уравнение относительно \(a\):

\(a = 10 - h \cdot \sqrt{2}\)

15. Затем подставим это значение \(a\) во второе уравнение:

\(h \cdot (10 - h \cdot \sqrt{2}) + h \cdot \sqrt{2} = 10\)

16. Раскроем скобки:

\(10h - h^2\sqrt{2} + h\sqrt{2} = 10\)

17. Упростим уравнение:

\(10h = h^2\sqrt{2}\)

18. Разделим обе части уравнения на \(h\):

\(10 = h\sqrt{2}\)

19. Теперь возведем обе части уравнения в квадрат, чтобы избавиться от корня:

\(100 = 2h^2\)

20. Разделим обе части уравнения на 2:

\(50 = h^2\)

21. Возьмем квадратный корень от обеих частей уравнения:

\(\sqrt{50} = h\)

\(\sqrt{2 \cdot 5^2} = h\)

\(5\sqrt{2} = h\)

22. Теперь мы нашли высоту \(h\) равнобедренной трапеции.

23. Чтобы найти площадь \(S\), мы можем подставить найденное значение высоты в формулу площади трапеции:

\(S = a \cdot h\)

\(S = (10 - h \cdot \sqrt{2}) \cdot 5\sqrt{2}\)

\(S = (10 \cdot 5\sqrt{2} - h \cdot \sqrt{2} \cdot 5\sqrt{2})\)

\(S = (50\sqrt{2} - 10h)\)

24. Подставим значение высоты \(h = 5\sqrt{2}\) и вычислим площадь \(S\):

\(S = 50\sqrt{2} - 10 \cdot 5\sqrt{2}\)

\(S = 50\sqrt{2} - 50\sqrt{2}\)

\(S = 0\)

25. Итак, площадь равнобедренной трапеции с диагональю 10 и острым углом равным 45° равна 0.