Какова сумма длин катетов данного прямоугольного треугольника, если медиана, проведенная к гипотенузе, равна 5/4

Miroslav

29

Для решения этой задачи нам понадобится использовать два факта о прямоугольных треугольниках:

1) Медиана, проведенная к гипотенузе треугольника, делит её на две равные части. То есть, половина гипотенузы равна длине медианы.

2) Высота, проведенная к гипотенузе треугольника, является гармоническим средним между двумя отрезками, на которые эта высота делит гипотенузу.

По нашей задаче, медиана равна 5/4, что означает, что половина гипотенузы равна 5/4. Поэтому, длина гипотенузы будет равна 2 * (5/4) = 5/2.

Высота равна 6/5. Для нахождения длины катетов, нам нужно разделить гипотенузу на соответствующее гармоническое среднее. Гармоническое среднее между 5/2 и 6/5 можно найти по следующей формуле:

\[\text{Гармоническое среднее} = \frac{2ab}{a + b}\]

Где a = 5/2 и b = 6/5.

Подставим значения:

\[\text{Гармоническое среднее} = \frac{2 \cdot \frac{5}{2} \cdot \frac{6}{5}}{\frac{5}{2} + \frac{6}{5}}\]

Упростим выражение:

\[\text{Гармоническое среднее} = \frac{2 \cdot 5 \cdot 6}{5 + 6}\]

\[\text{Гармоническое среднее} = \frac{60}{11}\]

Таким образом, длина каждого катета прямоугольного треугольника равна \(\frac{60}{11}\).