Какова площадь ромба, если его периметр равен 200 см и соотношение высоты к большей диагонали составляет 3:5?

Strekoza

37

Чтобы решить эту задачу, мы должны использовать формулу для нахождения площади ромба. Все ромбы имеют одинаковую формулу для площади: площадь равна половине произведения длин его диагоналей. Но прежде чем мы перейдем к решению, давайте найдем длину стороны ромба.

Дадано, что периметр ромба составляет 200 см. Так как у ромба все стороны равны, мы можем разделить периметр на 4, чтобы найти длину каждой стороны. То есть, длина каждой стороны ромба будет равна 200 см / 4 = 50 см.

Теперь, когда у нас есть длина стороны, мы можем использовать соотношение между высотой и большей диагональю, чтобы найти эти значения.

Согласно условию, соотношение высоты к большей диагонали составляет 3:5. Это означает, что высота ромба равна 3/5 от большей диагонали.

Мы знаем, что большая диагональ ромба соединяет противоположные вершины и делит ромб на два равных треугольника. В каждом из этих треугольников высота равна 3/5 от большей диагонали.

Теперь мы можем использовать пифагорову теорему в одном из этих треугольников для нахождения большей диагонали. По теореме Пифагора, квадрат большой диагонали равен сумме квадратов половины стороны (25 см) и квадрата высоты (3/5 от большей диагонали).

Получаем уравнение: \(d^2 = (25см)^2 + \left(\frac{3}{5}d\right)^2\). Раскроем скобки и решим уравнение.

\[d^2 = 625см^2 + \left(\frac{9}{25}d^2\right)\]

Перенесем все члены уравнения на одну сторону:

\[d^2 - \frac{9}{25}d^2 = 625см^2\]

\[\frac{16}{25}d^2 = 625см^2\]

Теперь, чтобы выразить \(d\) величину, найдем корень из обеих частей уравнения:

\[\frac{4}{5}d = 25см\]

\[d = \frac{25см}{\frac{4}{5}}\]

\[d = 25см \cdot \frac{5}{4} = 31,25см\]

Теперь, когда у нас есть значение большей диагонали, мы можем найти площадь ромба, используя формулу. Площадь ромба будет равна половине произведения его диагоналей:

\[S = \frac{1}{2} \cdot d \cdot h\]

\[S = \frac{1}{2} \cdot 31,25см \cdot \frac{3}{5} \cdot 31,25см\]

\[S = \frac{1}{2} \cdot 31,25см \cdot 18,75см\]

\[S = 292,96875см^2\]

Полученная площадь ромба составляет 292,96875 квадратных сантиметра.