Какова площадь ромба, если его периметр составляет 36 и один из углов равен 30 градусам?

Яхонт_3650

19

Чтобы найти площадь ромба, нам необходимо знать длину его диагоналей или длину стороны ромба.

Из задачи нам дано, что периметр ромба равен 36. Периметр ромба выражается как сумма длин его сторон, то есть
\[
P = 4s,
\]
где \( P \) - периметр ромба, а \( s \) - длина стороны ромба.

Далее, нам дано, что один из углов ромба равен 30 градусам. Угол в ромбе делится диагональю на два равных угла. Таким образом, верхний и нижний углы равны \(\frac{180 - 30}{2} = 75\) градусов.

Определим длину диагонали ромба (допустим, что это \(d_1\) и \(d_2\)). Для этого мы можем использовать тригонометрические соотношения в прямоугольном треугольнике, образованном одной диагональю, половиной одной стороны ромба и углом 30 градусов.

Таким образом, мы можем записать:
\[
\sin(30) = \frac{{\frac{1}{2} s}}{{\frac{1}{2} d_1}}
\]
Очевидно, что \(\sin(30) = \frac{1}{2}\), поэтому можно записать:
\[
\frac{1}{2} = \frac{{\frac{1}{2} s}}{{\frac{1}{2} d_1}}
\]
Упростим выражение:
\[
1 = \frac{{s}}{{d_1}}
\]
Аналогично можно показать, что \(1 = \frac{{s}}{{d_2}}\). Таким образом, длина обоих диагоналей равна длине стороны ромба, то есть
\[
d_1 = d_2 = s
\]

Теперь мы знаем, что сумма длин обоих диагоналей ромба равна периметру ромба:
\[
d_1 + d_2 = 2s = P
\]
Подставим известные значения:
\[
s + s = 2s = 36
\]
Решаем уравнение относительно \(s\):
\[
2s = 36
\]
\[
s = \frac{{36}}{{2}}
\]
\[
s = 18
\]
Таким образом, длина стороны ромба равна 18.

Чтобы найти площадь ромба, воспользуемся формулой:
\[
S = \frac{{d_1 \cdot d_2}}{2}
\]
Подставим известные значения:
\[
S = \frac{{18 \cdot 18}}{2}
\]
\[
S = \frac{{324}}{2}
\]
\[
S = 162
\]

Площадь ромба составляет 162 квадратных единиц.