Какова площадь ромба, если его периметр составляет 48 см и высота

Якорица

35

Чтобы найти площадь ромба, нам понадобится информация о его периметре и высоте. Известно, что периметр ромба равен 48 см.

Для начала вспомним некоторые важные свойства ромба. Ромб - это четырехугольник с четырьмя равными сторонами. Также известно, что диагонали ромба взаимно перпендикулярны и делят его на 4 равных треугольника.

Один из треугольников ромба можно рассмотреть в качестве равнобедренного треугольника, у которого одна сторона равна половине периметра ромба (поскольку у ромба все стороны равны друг другу), а высота - это одна из диагоналей.

Теперь используя формулу площади равнобедренного треугольника, можем найти площадь одного из треугольников ромба, а потом умножить ее на 4, чтобы получить площадь всего ромба.

Формула для площади равнобедренного треугольника:
\[S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot h\]

Где S - площадь, a - основание (в нашем случае половина периметра ромба), h - высота (одна из диагоналей, которая нам неизвестна в задаче).

Давайте найдем высоту ромба. Для этого воспользуемся теоремой Пифагора. Рассмотрим один из треугольников ромба, где одна сторона равна \(a\), а другая - половине длины диагонали \(d\). Используя теорему Пифагора, можем записать:
\[a^2 = \left(\frac{d}{2}\right)^2 + h^2\]

\[\frac{d^2}{4} = a^2 - h^2\]

\[d^2 = 4(a^2 - h^2)\]

\[d = \sqrt{4(a^2 - h^2)}\]

Мы знаем, что периметр ромба равен 48 см. Так как у ромба все стороны равны, можем записать:
\[4a = 48\]

\[a = \frac{48}{4} = 12\]

Подставим это значение a в предыдущую формулу:
\[d = \sqrt{4(12^2 - h^2)}\]

Теперь у нас есть две уравнения:
\[d = \sqrt{4(12^2 - h^2)}\]
и
\[d^2 = 4(a^2 - h^2)\]

Мы можем исключить переменную d, подставив значение из первого уравнения во второе:
\[\left(\sqrt{4(12^2 - h^2)}\right)^2 = 4(12^2 - h^2)\]

\[4(12^2 - h^2) = 4(12^2 - h^2)\]

Как видно, левая и правая части равны, значит, значение h не зависит от диагоналей.

Теперь можем найти высоту треугольника, если заменим значение a в формуле \(d = \sqrt{4(a^2 - h^2)}\) на 12:
\[d = \sqrt{4(12^2 - h^2)}\]

\[d = \sqrt{4(144 - h^2)}\]

Так как диагонали ромба взаимно перпендикулярны и делят ромб на равные треугольники, то \(d = 2h\):
\[\sqrt{4(144 - h^2)} = 2h\]

Возведем обе части уравнения в квадрат:
\[4(144 - h^2) = 4h^2\]

\[576 - 4h^2 = 4h^2\]

\[8h^2 = 576\]

\[h^2 = \frac{576}{8}\]

\[h^2 = 72\]

\[h = \sqrt{72} = \sqrt{36 \cdot 2} = 6\sqrt{2}\]

Теперь, имея значение высоты h, мы можем найти площадь ромба, умножив площадь одного из треугольников (вычисленную по формуле \(S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot h\)) на 4:
\[S = 4 \cdot \frac{1}{2} \cdot a \cdot h\]
\[S = 2 \cdot 12 \cdot 6\sqrt{2}\]
\[S = 24 \cdot 6\sqrt{2}\]
\[S = 144\sqrt{2}\]

Таким образом, площадь ромба равна \(144\sqrt{2}\) квадратных сантиметра.