Какова площадь сечения призмы, если оно проходит через боковое ребро и меньшую диагональ основания прямой призмы

Радуга_На_Небе

21

Чтобы решить эту задачу, нам понадобится немного геометрии и формулы для нахождения площади параллелограмма и площади треугольника.

Давайте начнем с рисунка, чтобы визуализировать задачу:

       C

      / \

     /   \

    /____ \

   A      B

Здесь A и B - это вершины параллелограмма, а C - вершина, через которую проходит сечение призмы. Мы должны найти площадь этого сечения.

У нас есть основание параллелограмма со сторонами 8 см и 15 см, а угол между ними равен 120 градусам. Для начала построим такой параллелограмм:

       C

      / \

    a/   \b

    /_____\

   A       B



   a = 8 см

   b = 15 см

   ∠ACB = 120°

Теперь нас интересует меньшая диагональ параллелограмма, которая является стороной нашего сечения. Пусть эта диагональ будет обозначена как d.

Так как диагональ d проходит через вершину C, мы можем разделить параллелограмм на два треугольника. Пусть один треугольник будет ABC, а другой треугольник будет CBD.

Чтобы найти площадь параллелограмма ABCD, мы можем использовать формулу:

\[ S_{ABCD} = a \times b \times \sin(\angle ACB) \]

Теперь нам нужно найти площади треугольников ABC и BCD. Площадь треугольника можно выразить как половину произведения длин двух его сторон на синус угла между ними:

\[ S_{ABC} = \frac{1}{2} \times a \times d \times \sin(\angle ACB) \]
\[ S_{BCD} = \frac{1}{2} \times b \times d \times \sin(\angle ACB) \]

Так как сечение проходит через меньшую диагональ, нам нужно найти площадь треугольника ABC. Теперь подставим значения a = 8 см, b = 15 см и угла ACB = 120 градусов в формулы для нахождения площадей:

\[ S_{ABCD} = 8 \times 15 \times \sin(120°) \]
\[ S_{ABC} = \frac{1}{2} \times 8 \times d \times \sin(120°) \]
\[ S_{BCD} = \frac{1}{2} \times 15 \times d \times \sin(120°) \]

Вычислим теперь значения синуса 120 градусов и найдем площади:

\[ \sin(120°) = \sqrt{3}/2 \approx 0.866 \]

\[ S_{ABCD} = 8 \times 15 \times 0.866 = 103.92 \, \text{см}^2 \]
\[ S_{ABC} = \frac{1}{2} \times 8 \times d \times 0.866 = 4 \, d \, \text{см}^2 \]
\[ S_{BCD} = \frac{1}{2} \times 15 \times d \times 0.866 = \frac{15}{2} \, d \, \text{см}^2 \]

Таким образом, площадь сечения призмы, проходящего через боковое ребро и меньшую диагональ основания прямой призмы, равна 103.92 см².