Какова площадь сектора, если радиус окружности равен 8 см, а центральный угол сектора составляет 270 градусов? Возьмите

Zolotoy_Drakon

7

Чтобы решить эту задачу, сначала нужно вспомнить формулу для площади сектора. Площадь сектора можно вычислить по следующей формуле:

\[S_{\text{сектора}} = \dfrac{\text{длина дуги}}{2 \pi r} \cdot \text{площадь окружности}\]

где \(r\) - радиус окружности, а \(\pi\) - математическая константа, примерно равная 3.

Для начала, нужно найти длину дуги сектора. Длину дуги можно вычислить с помощью формулы:

\[l_{\text{дуги}} = 2 \pi r \cdot \left(\dfrac{\text{центральный угол}}{360}\right)\]

В нашем случае, радиус окружности равен 8 см, а центральный угол сектора составляет 270 градусов. Подставим эти значения в формулу для вычисления длины дуги:

\[l_{\text{дуги}} = 2 \pi \times 8 \times \left(\dfrac{270}{360}\right)\]

После подсчёта получаем:

\[l_{\text{дуги}} = 2 \pi \times 8 \times \left(\dfrac{3}{4}\right) = 2 \pi \times 2 \times 3 = 12 \pi\]

Теперь мы знаем длину дуги сектора, поэтому можем подставить это значение в формулу для площади сектора:

\[S_{\text{сектора}} = \dfrac{12 \pi}{2 \pi \times 8} \cdot (\pi \times 8^2)\]

Выполним вычисления:

\[S_{\text{сектора}} = \dfrac{12 \pi}{2 \pi \times 8} \cdot (\pi \times 64) = \dfrac{12 \pi}{2 \pi \times 8} \cdot \pi \cdot 64 = \dfrac{12}{16} \cdot 64 = \dfrac{3}{4} \cdot 64 = 48\]

Таким образом, площадь сектора равна 48 квадратным сантиметрам.