Какова площадь сферы, которая вписана в конус с радиусом основания 3 см и углом при вершине осевого сечения

Magicheskiy_Samuray_3282

23

Чтобы решить эту задачу, мы можем использовать некоторые геометрические свойства и формулы. Для начала, давайте определимся с понятием вписанной сферы.

Вписанная сфера – это сфера, которая касается каждой грани (в данном случае - основания) вписывающего в нее (в данном случае - конуса). Общая идея решения заключается в том, чтобы найти радиус (R) вписанной сферы и затем использовать формулу для нахождения ее площади. Воспользуемся следующими шагами:

1. Найдем высоту конуса (h). У нас дан радиус основания конуса (r) = 3 см и угол при вершине осевого сечения (α) = 60 градусов. Для этого мы можем использовать тригонометрические соотношения. В данном случае, можем использовать тангенс угла при вершине осевого сечения: $\tan(\alpha) = \frac{h}{r}$. Подставляем известные значения в формулу и находим высоту конуса: $h = \tan(60^\circ) \cdot 3$

2. Теперь найдем радиус вписанной сферы (R). Из геометрических свойств известно, что радиус вписанной сферы равен половине радиуса основания конуса. То есть $R = \frac{r}{2}$.

3. Найдем площадь сферы (S). Для этого воспользуемся формулой: $S = 4\pi R^2$

Теперь давайте выполним расчеты:

1. Находим высоту конуса: \(h = \tan(60^\circ) \cdot 3\)

\[h = \tan(60^\circ) \cdot 3 = \sqrt{3} \cdot 3 = 3\sqrt{3} \text{ см}\]

2. Находим радиус вписанной сферы: \(R = \frac{r}{2}\)

\[R = \frac{3}{2} = \frac{3}{2} \text{ см}\]

3. Находим площадь сферы: \(S = 4\pi R^2\)

\[S = 4\pi \left(\frac{3}{2}\right)^2 = 4\pi \cdot \frac{9}{4} = 9\pi \text{ см}^2\]

Таким образом, площадь вписанной сферы, которая находится внутри данного конуса, составляет \(9\pi\) квадратных сантиметров.