Какова площадь сферы, которая вписана в прямую призму с прямоугольным треугольником основания, где гипотенуза равна

Эльф

68

Пусть дана прямая призма с прямоугольным треугольным основанием, где гипотенуза треугольника равна 25 см, а высота равна $h$ см. Мы хотим найти площадь сферы, которая вписана в данную призму.

Для начала рассмотрим прямоугольный треугольник основания. По теореме Пифагора получаем:

$${\text{катет}}_1^2+{\text{катет}}_2^2={\text{гипотенуза}}^2$$
$$a^2+b^2={25}^2$$
$$a^2+b^2=625$$

Затем, найдем площадь основания призмы. Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения катетов:

$$S_{\text{основания}}=\frac{1}{2}\cdot a\cdot b$$

Теперь, чтобы найти радиус сферы, вписанной в призму, воспользуемся свойством: радиус вписанной сферы перпендикулярен к стороне призмы и соединяет ее середины. Таким образом, радиус сферы равен половине гипотенузы основания. Поэтому, радиус $r$ равен $\frac{25}{2}$ см.

Известно, что площадь поверхности сферы вычисляется по формуле:

$$S_{\text{сферы}}=4\pi r^2$$

Подставляя значение радиуса в это уравнение, получим:

$$S_{\text{сферы}}=4\pi {\left(\frac{25}{2}\right)}^2=4\pi \cdot \frac{625}{4}=625\pi$$

Таким образом, площадь сферы, вписанной в данную прямую призму, равна $625\pi$ квадратных сантиметров.