Какова площадь сферы, которая вписана в прямую призму с прямоугольным треугольником основания, где гипотенуза равна

Эльф

68

Пусть дана прямая призма с прямоугольным треугольным основанием, где гипотенуза треугольника равна 25 см, а высота равна \(h\) см. Мы хотим найти площадь сферы, которая вписана в данную призму.

Для начала рассмотрим прямоугольный треугольник основания. По теореме Пифагора получаем:

\[\text{катет}_1^2 + \text{катет}_2^2 = \text{гипотенуза}^2\]
\[a^2 + b^2 = 25^2\]
\[a^2 + b^2 = 625\]

Затем, найдем площадь основания призмы. Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения катетов:

\[S_{\text{основания}} = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b\]

Теперь, чтобы найти радиус сферы, вписанной в призму, воспользуемся свойством: радиус вписанной сферы перпендикулярен к стороне призмы и соединяет ее середины. Таким образом, радиус сферы равен половине гипотенузы основания. Поэтому, радиус \(r\) равен \(\frac{25}{2}\) см.

Известно, что площадь поверхности сферы вычисляется по формуле:

\[S_{\text{сферы}} = 4 \pi r^2\]

Подставляя значение радиуса в это уравнение, получим:

\[S_{\text{сферы}} = 4 \pi \left(\frac{25}{2}\right)^2 = 4 \pi \cdot \frac{625}{4} = 625 \pi\]

Таким образом, площадь сферы, вписанной в данную прямую призму, равна \(625 \pi\) квадратных сантиметров.