Какова площадь сферы, в которую вписан цилиндр, если радиус цилиндра равен его образующей?

Петр_2718

24

Хорошо, давайте решим задачу о площади сферы, в которую вписан цилиндр с радиусом, равным его образующей.

Первым шагом нам потребуется вычислить радиус сферы. Для этого нам понадобится теорема Пифагора, которая гласит, что в прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

В нашем случае, цилиндр является прямым цилиндром, у которого радиус основания и образующая образуют прямой угол. Таким образом, образующая будет гипотенузой прямоугольного треугольника, а радиус цилиндра - одним из катетов.

Пусть \(r\) - радиус цилиндра и образующая, а \(R\) - радиус сферы. Тогда согласно теореме Пифагора, имеем:

\[R^2 = r^2 + r^2 = 2r^2\]

Теперь мы знаем, что \(R = \sqrt{2r^2}\). Чтобы найти площадь сферы, воспользуемся формулой для площади поверхности сферы, которая составляет:

\[S = 4\pi R^2\]

Подставив значение \(R\), получим:

\[S = 4\pi (\sqrt{2r^2})^2 = 4\pi \cdot 2r^2 = 8\pi r^2\]

Итак, формула для площади сферы, в которую вписан цилиндр, с радиусом, равным его образующей, равна \(8\pi r^2\).

Надеюсь, это решение понятно для вас. Если у вас возникнут еще вопросы, пожалуйста, не стесняйтесь задавать их.