1а) Какой является шестой член заданной геометрической прогрессии с первым членом -32 и знаменателем равным 0,5?

Артем

51

а) Для решения задачи 1а) нам нужно найти шестой член геометрической прогрессии с первым членом -32 и знаменателем 0,5. Для этого мы можем использовать формулу для общего члена геометрической прогрессии \(a_n = a_1 \cdot r^{n-1}\), где \(a_n\) - n-й член прогрессии, \(a_1\) - первый член прогрессии, \(r\) - знаменатель геометрической прогрессии, \(n\) - номер члена, который мы хотим найти.

У нас есть \(a_1 = -32\) и \(r = 0,5\), и мы хотим найти \(a_6\). Подставим значения в формулу и получим:

\[a_6 = -32 \cdot (0,5)^{6-1}\]

Вычислим это:

\[a_6 = -32 \cdot (0,5)^5\]

\[a_6 = -32 \cdot 0,03125\]

\[a_6 = -1\]

Таким образом, шестой член заданной геометрической прогрессии равен -1.

б) Чтобы найти сумму первых семи членов заданной геометрической прогрессии, нам нужно использовать формулу для суммы членов геометрической прогрессии \(S_n = \frac{{a_1 \cdot (1-r^n)}}{{1-r}}\), где \(S_n\) - сумма первых n членов прогрессии.

У нас есть \(a_1 = -32\), \(r = 0,5\) и \(n = 7\). Подставим значения в формулу и рассчитаем:

\[S_7 = \frac{{-32 \cdot (1-0,5^7)}}{{1-0,5}}\]

\[S_7 = \frac{{-32 \cdot (1-0,0078125)}}{{0,5}}\]

\[S_7 = \frac{{-32 \cdot 0,9921875}}{{0,5}}\]

\[S_7 = -64 \cdot 0,9921875\]

\[S_7 = -63,375\]

Таким образом, сумма первых семи членов заданной геометрической прогрессии составляет -63,375.

2) Чтобы найти сумму первых двадцати членов заданной арифметической прогрессии, нам нужно использовать формулу для суммы членов арифметической прогрессии \(S_n = \frac{{n \cdot (a_1 + a_n)}}{2}\), где \(S_n\) - сумма первых n членов прогрессии.

У нас дана формула для \(n\) -го члена арифметической прогрессии: \(a_n = 7 + 3n\). Мы хотим найти сумму первых 20 членов, поэтому \(n = 20\).

Мы также знаем, что \(a_1 = 7\), так как это первый член прогрессии. Теперь подставим значения в формулу и рассчитаем:

\[S_{20} = \frac{{20 \cdot (7 + a_{20})}}{2}\]

Чтобы найти \(a_{20}\), подставим в формулу \(n = 20\):

\[a_{20} = 7 + 3 \cdot 20\]

\[a_{20} = 7 + 60\]

\[a_{20} = 67\]

Теперь подставим \(a_1 = 7\) и \(a_{20} = 67\) в формулу для суммы:

\[S_{20} = \frac{{20 \cdot (7 + 67)}}{2}\]

\[S_{20} = \frac{{20 \cdot 74}}{2}\]

\[S_{20} = 20 \cdot 37\]

\[S_{20} = 740\]

Таким образом, сумма первых двадцати членов заданной арифметической прогрессии составляет 740.

3) Чтобы найти четвертый член заданной геометрической прогрессии, где \(c_1 = 2\) и \(S_{p-1} = -3c_n\), мы должны разобраться в формуле для суммы фиксированного количества членов этой прогрессии.

Согласно формуле, \(S_n = \frac{{c_1 \cdot (1-r^n)}}{{1-r}}\), где \(S_n\) - сумма первых n членов геометрической прогрессии.

В данной задаче нам даны \(c_1 = 2\) и \(S_{p-1} = -3c_n\). Мы должны найти четвертый член \(c_4\). Подставим известные значения в формулу и рассчитаем:

\[S_{p-1} = \frac{{2 \cdot (1-r^{p-1})}}{{1-r}} = -3c_n\]

\[S_{3} = \frac{{2 \cdot (1-r^{3})}}{{1-r}} = -3c_4\]

Выразим \(c_4\):

\[-3c_4 = \frac{{2 \cdot (1-r^{3})}}{{1-r}}\]

\[c_4 = -\frac{{2 \cdot (1-r^{3})}}{{3(1-r)}}\]

Таким образом, четвертый член заданной геометрической прогрессии равен \(-\frac{{2 \cdot (1-r^{3})}}{{3(1-r)}}\).

4) Для нахождения члена прогрессии, обозначенного буквой \(x\), в последовательности арифметической прогрессии необходимо определить, какой член данного ряда стоит перед ним и какой член следует после него. Затем мы легко найдем значение \(x\).

В данном случае, наша последовательность арифметической прогрессии выглядит следующим образом: \(..., 12, x, 6, 3\).

Мы видим, что перед членом \(x\) стоит число 12, а после него стоит 6.

Зная, что арифметическая прогрессия представляет собой последовательность чисел, в которой между каждыми двумя соседними членами имеется одинаковый разрыв или "шаг", мы можем вычислить этот разрыв.

Разрыв между 12 и \(x\) равен \((x - 12)\), а разрыв между \(x\) и 6 равен \((6 - x)\).

Таким образом, мы можем записать уравнение:

\[(x - 12) = (6 - x)\]

Решим это уравнение:

\[2x = 18\]

\[x = 9\]

Таким образом, член прогрессии, обозначенный буквой \(x\) в данной последовательности арифметической прогрессии, равен 9.

5) It seems that the question 5 is missing. Could you please provide the missing question?