Найдите третью производную функции y=4x^3-e^5^x

Nikolay_6668

62

Хорошо, давайте найдем третью производную функции \(y = 4x^3 - e^{5x}\).

Первым шагом найдем первую производную этой функции. Для этого возьмем производные каждого слагаемого по отдельности:

\[\frac{{dy}}{{dx}} = \frac{{d}}{{dx}} (4x^3) - \frac{{d}}{{dx}} (e^{5x})\]

Чтобы найти производную \(4x^3\), воспользуемся правилом степенной функции: если у нас есть функция вида \(f(x) = ax^n\), где \(a\) - некоторое число, а \(n\) - степень, то производная этой функции будет следующая:

\[\frac{{df}}{{dx}} = n \cdot a \cdot x^{(n-1)}\]

Применяя это правило к нашей функции \(4x^3\), получим:

\[\frac{{d}}{{dx}} (4x^3) = 3 \cdot 4 \cdot x^{(3-1)} = 12x^2\]

Теперь найдем производную \(e^{5x}\). Для этого используем правило производной экспоненты: если у нас есть функция вида \(f(x) = e^{ax}\), где \(a\) - некоторое число, то производная этой функции будет следующей:

\[\frac{{df}}{{dx}} = a \cdot e^{ax}\]

Применяя это правило к нашей функции \(e^{5x}\), получим:

\[\frac{{d}}{{dx}} (e^{5x}) = 5 \cdot e^{5x}\]

Таким образом, первая производная функции \(y = 4x^3 - e^{5x}\) будет:

\[\frac{{dy}}{{dx}} = 12x^2 - 5 \cdot e^{5x}\]

Теперь перейдем ко второй производной. Для этого найдем производную от полученной первой производной:

\[\frac{{d^2y}}{{dx^2}} = \frac{{d}}{{dx}} (12x^2 - 5 \cdot e^{5x})\]

Для первого слагаемого \(12x^2\) мы уже знаем производную: \(\frac{{d}}{{dx}} (12x^2) = 24x\).

Теперь найдем производную второго слагаемого \(-5 \cdot e^{5x}\). Снова используем правило производной экспоненты:

\[\frac{{d}}{{dx}} (-5 \cdot e^{5x}) = -5 \cdot \frac{{d}}{{dx}} (e^{5x}) = -5 \cdot 5 \cdot e^{5x}\]

Поэтому вторая производная функции \(y = 4x^3 - e^{5x}\) будет:

\[\frac{{d^2y}}{{dx^2}} = 24x - 25 \cdot e^{5x}\]

Наконец, перейдем к третьей производной. Снова возьмем производную от полученной второй производной:

\[\frac{{d^3y}}{{dx^3}} = \frac{{d}}{{dx}} (24x - 25 \cdot e^{5x})\]

Для первого слагаемого \(24x\) производная будет \(\frac{{d}}{{dx}} (24x) = 24\).

Производная второго слагаемого \(-25 \cdot e^{5x}\) снова будет:

\[\frac{{d}}{{dx}} (-25 \cdot e^{5x}) = -25 \cdot \frac{{d}}{{dx}} (e^{5x}) = -25 \cdot 5 \cdot e^{5x}\]

Таким образом, третья производная функции \(y = 4x^3 - e^{5x}\) будет:

\[\frac{{d^3y}}{{dx^3}} = 24 - 125 \cdot e^{5x}\]

Это и есть ответ на задачу. Если у вас возникают дополнительные вопросы или что-то не ясно, не стесняйтесь задавать.