Какова площадь трапеции abcd, если ad||bc, bc=1 и ab=2√3, а угол bad=30° и угол cda=45°?

Milana

42

Чтобы найти площадь трапеции ABCD, нам понадобится использовать формулу для площади трапеции, которая выглядит так:

\[S = \frac{{a + b}}{2} \cdot h\]

где \(a\) и \(b\) - длины оснований трапеции, а \(h\) - высота трапеции. Давайте приступим к решению задачи.

Первым шагом, чтобы найти площадь трапеции ABCD, нам нужно найти длины ее оснований. У нас дано, что \(BC = 1\) и \(AB = 2\sqrt{3}\).

Чтобы найти высоту трапеции, нам потребуется знать углы BAD и CDA. Дано, что \(\angle BAD = 30^\circ\) и \(\angle CDA = 45^\circ\).

Для нахождения высоты трапеции, мы можем использовать тригонометрию. Заметим, что треугольник ABD - прямоугольный, поскольку \(\angle BAD = 30^\circ\). Используя тригонометрическую функцию синуса, мы можем выразить высоту через сторону треугольника.

\(\sin(\angle BAD) = \frac{{\text{{противоположный катет}}}}{{\text{{гипотенуза}}}}\)

mbox{Высота} = \text{{AB}} \cdot \sin(\angle BAD)

mbox{Высота} = 2\sqrt{3} \cdot \sin(30^\circ)

Синус 30° равен 0.5, поэтому:

mbox{Высота} = 2\sqrt{3} \cdot 0.5 = \sqrt{3}

Теперь у нас есть все данные, чтобы использовать формулу для площади трапеции.

\begin{align*}
S & = \frac{{a + b}}{2} \cdot h \\
& = \frac{{2\sqrt{3} + 1}}{2} \cdot \sqrt{3} \\
& = \frac{{2\sqrt{3} + 1}}{2} \cdot \sqrt{3} \cdot \frac{{\sqrt{3}}}{{\sqrt{3}}} \\
& = \frac{{(2\sqrt{3} + 1)\sqrt{3}}}{{2}} \\
& = \frac{{2\sqrt{3}\sqrt{3} + \sqrt{3}}}{{2}} \\
& = \frac{{6 + \sqrt{3}}}{{2}} \\
& = 3 + \frac{{\sqrt{3}}}{{2}}.
\end{align*}

Таким образом, площадь трапеции ABCD равна \(3 + \frac{{\sqrt{3}}}{{2}}\) квадратных единиц.