Какова площадь трапеции, если её основания равны 7 и 19, а два из её углов имеют по 45 градусов?

Игорь

20

Чтобы найти площадь трапеции, нам понадобятся её высота и длины оснований. Для начала, давайте найдем высоту трапеции.

У нас есть два угла трапеции, каждый из которых равен 45 градусам. Для трапеции с углами 45 градусов, мы можем сказать, что она является равнобедренной трапецией, то есть её боковые стороны равны между собой.

Так как у нас нет информации о длине боковых сторон, давайте предположим, что они равны. Пусть их длина будет \(x\).

Когда мы создадим равнобедренную трапецию, боковые стороны будут образовывать с основаниями две равные прямые, каждая из которых состоит из основания и соответствующей боковой стороны. Зная, что сумма углов треугольника равна 180 градусов, мы можем записать уравнение:

\[45 + 45 + 90 = 180.\]

Таким образом, получаем, что сумма углов равна 180 градусов, что является правильным.

Теперь мы можем использовать данный факт, чтобы найти высоту трапеции. Обратите внимание, что высота является линией, перпендикулярной основаниям и проходящей через их середины.

Мы можем разбить трапецию на два равных прямоугольных треугольника, каждый из которых имеет основание равное полусумме оснований трапеции, то есть \( \frac{(7+19)}{2} = 13\), и накладывается на высоту.

Таким образом, для каждого из прямоугольных треугольников у нас есть гипотенуза длиной 13 и углы 45, 45 и 90 градусов.

Мы можем использовать тригонометрические соотношения, чтобы найти длину высоты треугольника. В данном случае, тангенс угла 45 градусов равен отношению катета (высоты) к гипотенузе.

Используя формулу, \( \tan(45) = \frac{\text{высота}}{13} \), мы можем выразить высоту, получив:

\[ \text{высота} = 13 \cdot \tan(45).\]

Подставив значение \( \tan(45) = 1 \), найдем высоту трапеции:

\[ \text{высота} = 13 \cdot 1 = 13.\]

Теперь, когда у нас есть высота и основания трапеции, мы можем найти её площадь, используя формулу:

\[ \text{площадь} = \frac{\text{сумма оснований} \times \text{высоту}}{2}.\]

Подставляя значения, получим:

\[ \text{площадь} = \frac{(7 + 19) \times 13}{2} = \frac{26 \times 13}{2} = \frac{338}{2} = 169.\]

Итак, площадь данной трапеции равна 169 квадратных единиц.