Какова площадь трапеции, у которой основания равны 2 и 18, одна из боковых сторон равна 26√3, а угол между этой боковой

Сверкающий_Джентльмен

2

Чтобы найти площадь трапеции, нам понадобится знать формулу для расчёта площади трапеции. Площадь трапеции вычисляется по формуле:

\[S = \frac{(a + b) \cdot h}{2}\]

где \(S\) - площадь трапеции, \(a\) и \(b\) - длины оснований, \(h\) - высота трапеции.

У нас даны длины оснований \(a = 2\) и \(b = 18\). Также дано, что одна из боковых сторон равна \(26\sqrt{3}\), а угол между этой боковой стороной и одним из оснований составляет \(120^\circ\).

Для решения этой задачи, нам необходимо найти высоту трапеции. Обратимся к геометрическим свойствам треугольников.

Мы можем разделить трапецию на два треугольника, используя линию, перпендикулярную основаниям. Поскольку основания равны 2 и 18, то мы можем линию поделить на две части, в пропорции 1:9. Это можно увидеть, если мы нарисуем эту линию, разделяющую трапецию. Поэтому, соотношение длин сторон треугольника, относящиеся к основаниям, будет таким:

\(\frac{x}{2} = \frac{9x}{18}\)

где \(x\) - длина отрезка, делителя посередине.

Решим это равенство:

\(\frac{x}{2} = \frac{9x}{18}\)

Произведём на обе стороны уравнения на 18:

\(18 \cdot \frac{x}{2} = 18 \cdot \frac{9x}{18}\)

9x = 9x

Таким образом, получаем \(x = 1\), что означает, что длина этого отрезка равна 1.

Далее нам нужно найти высоту треугольника. Зная длину одной из боковых сторон треугольника - \(26\sqrt{3}\) и угол между этой стороной и одним из оснований - 120°, мы можем использовать тригонометрические функции для вычисления высоты.

Мы знаем, что \(\sin(120^\circ) = \frac{{\text{{противолежащий катет}}}}{{\text{{гипотенуза}}}}\), поэтому:

\(\sin(120^\circ) = \frac{{x}}{{26\sqrt{3}}}\)

Выразим \(x\):

\(x = 26\sqrt{3} \cdot \sin(120^\circ)\)

Теперь мы можем вычислить \(x\):

\(x = 26\sqrt{3} \cdot \frac{{\sqrt{3}}}{2}\)

Упрощаем:

\(x = 13 \cdot 3\)

\(x = 39\)

Таким образом, высота треугольника равна 39.

Теперь, когда у нас есть длины оснований \(a = 2\) и \(b = 18\), а также высота \(h = 39\), мы можем использовать формулу для нахождения площади трапеции:

\[S = \frac{(a + b) \cdot h}{2}\]

Подставим значения:

\[S = \frac{(2 + 18) \cdot 39}{2}\]

Вычислим:

\[S = \frac{20 \cdot 39}{2}\]

\[S = \frac{780}{2}\]

\[S = 390\]

Таким образом, площадь данной трапеции равна 390.