Какова площадь вписанного квадрата в данном квадрате со стороной a, в котором вершины делят сторону данного квадрата

Romanovich_4379

39

Чтобы найти площадь вписанного квадрата в данном квадрате со стороной \(a\), разберемся с условием задачи.

Мы знаем, что вершины вписанного квадрата делят сторону данного квадрата в отношении 3:8. То есть, один отрезок стороны делится на два отрезка, причем первый отрезок из трех частей, а второй отрезок из восьми.

Давайте обозначим длину первого отрезка через \(x\), а длину второго отрезка через \(y\).

Исходя из данного условия, мы можем записать уравнение:

\(\frac{x}{y} = \frac{3}{8}\)

Однако, у нас есть дополнительное условие - сторона данного квадрата равна \(a\). Это означает, что сумма длин обоих отрезков должна быть равна \(a\):

\(x + y = a\)

Теперь у нас есть система из двух уравнений:

\(\begin{cases} \frac{x}{y} = \frac{3}{8} \\ x + y = a \end{cases}\)

Чтобы решить эту систему уравнений, мы можем использовать метод подстановки. Рассмотрим первое уравнение и выразим из него переменную \(x\):

\(x = \frac{3y}{8}\)

Теперь подставим это выражение во второе уравнение:

\(\frac{3y}{8} + y = a\)

Упростим уравнение:

\(\frac{11y}{8} = a\)

Теперь выразим \(y\) через \(a\):

\(y = \frac{8a}{11}\)

Используем это значение \(y\) и подставим его в уравнение для \(x\):

\(x = \frac{3}{8} \cdot \frac{8a}{11}\)

Упростим это выражение:

\(x = \frac{3a}{11}\)

Теперь у нас есть значения \(x\) и \(y\) через \(a\), а это значит, что мы можем найти площадь \(S\) вписанного квадрата. Площадь квадрата равна произведению длины стороны на ее же длину, поэтому:

\(S = xy\)

Подставим значения \(x\) и \(y\) в это выражение:

\(S = \frac{3a}{11} \cdot \frac{8a}{11}\)

Умножим числители и знаменатели:

\(S = \frac{24a^2}{121}\)

Таким образом, площадь вписанного квадрата в данном квадрате со стороной \(a\) равна \(\frac{24a^2}{121}\).