Какова площадь треугольника ABC, если в нем угол C равен 90 градусов, к гипотенузе проведена медиана CM длиной

Kosmicheskiy_Puteshestvennik

54

Для решения данной задачи воспользуемся свойствами медианы треугольника. Медиана треугольника — это отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противолежащей стороны.

По условию задачи, угол ACB равен 90 градусов, значит, треугольник ABC является прямоугольным треугольником.

Далее, нам дано, что медиана CM равна 4 сантиметра. В прямоугольном треугольнике медиана, проведенная к гипотенузе, равна половине длины гипотенузы. Значит, гипотенуза AB равна 2 * CM, то есть 8 сантиметров.

Теперь нам нужно найти площадь треугольника ABC. Мы знаем, что площадь прямоугольного треугольника можно найти по формуле:

\[ Площадь = \frac{1}{2} \times \text{катет1} \times \text{катет2} \]

В данном случае, катетами являются длины катетов AC и BC. Для нахождения их длины, рассмотрим отношение угла ACB к углу ACM. По условию, оно составляет 1:2.

Из данного отношения следует, что угол ACB в два раза больше угла ACM. Значит, угол ACM равен 30 градусам, а угол BCM - 60 градусов.

Так как треугольник прямоугольный, углы ACB и BAC тоже равны 90 и 30 градусов соответственно.

Теперь, для нахождения длин катетов AC и BC, мы можем использовать тригонометрические соотношения. Используем соотношение в синусе:

\[ \sin(\alpha) = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{гипотенуза}} \]

Для нахождения длины катета AC будем использовать угол ACM:

\[ \sin(30^\circ) = \frac{AC}{8} \]

Решая данное уравнение, получаем, что AC = 4 сантиметра.

Точно так же, для нахождения длины катета BC будем использовать угол BCM:

\[ \sin(60^\circ) = \frac{BC}{8} \]

Снова решаем уравнение и находим BC = 4√3 сантиметра.

Теперь у нас есть длины катетов AC и BC, поэтому мы можем найти площадь треугольника ABC, используя ранее указанную формулу:

\[ Площадь = \frac{1}{2} \times AC \times BC \]

Подставляем значения и получаем площадь треугольника ABC:

\[ Площадь = \frac{1}{2} \times 4 \times 4√3 = 8√3 \, квадратных\, сантиметров \]

Таким образом, площадь треугольника ABC равна \(8√3\) квадратных сантиметров.