Какова площадь треугольника ABH, если сторона AB равна 45 градусов, а высота BH делит сторону на отрезки AH

Ekaterina

25

Для решения данной задачи, мы можем использовать формулу для вычисления площади треугольника. Площадь треугольника равна половине произведения основания и высоты.

Дано, что сторона AB равна 45 градусов, а высота BH делит сторону на отрезки AH и HC, которые равны 6 см и 10 см соответственно.

Для начала, нам необходимо найти основание треугольника AB. Для этого мы можем воспользоваться теоремой косинусов.

Теорема косинусов гласит: в треугольнике со сторонами a, b и c, и углом α против стороны a, углом β против стороны b и углом γ против стороны c, справедливо следующее равенство:

\[c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cdot \cos(\gamma)\]

В нашем случае, у нас есть сторона AB равная 45 градусов. Также нам известно, что AH равна 6 см и HC равна 10 см.

Так как угол ABH равен 45 градусов, то угол BAH равен \(90 - 45 = 45\) градусов.

Теперь мы можем применить теорему косинусов для нахождения длины основания AB:

\[AB^2 = AH^2 + BH^2 - 2 \cdot AH \cdot BH \cdot \cos(45)\]

Подставим известные значения:

\[AB^2 = 6^2 + BH^2 - 2 \cdot 6 \cdot BH \cdot \cos(45)\]

Так как высота BH делит основание AB на два отрезка равных AH и HC, то мы можем записать:

\[AB = AH + HC = 6 + 10 = 16\]

Подставим значение AB в формулу:

\[16^2 = 6^2 + BH^2 - 2 \cdot 6 \cdot BH \cdot \cos(45)\]

\[
256 = 36 + BH^2 - 12BH \cdot \cos(45)
\]

Теперь нам нужно решить это уравнение и найти значение BH.

\[220 = BH^2 - 12BH \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}\]

\[220 = BH^2 - 6\sqrt{2}BH\]

\[BH^2 - 6\sqrt{2}BH - 220 = 0\]

Теперь мы можем решить это квадратное уравнение. Найдем дискриминант:

\[D = (-6\sqrt{2})^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-220) = 72\]

Так как дискриминант положительный, у нас есть два корня:

\[BH_1 = \frac{-(-6\sqrt{2}) + \sqrt{72}}{2 \cdot 1}\]
\[BH_2 = \frac{-(-6\sqrt{2}) - \sqrt{72}}{2 \cdot 1}\]

Упрощаем:

\[BH_1 = \frac{6\sqrt{2} + 6\sqrt{2}}{2} = 6\sqrt{2}\]
\[BH_2 = \frac{6\sqrt{2} - 6\sqrt{2}}{2} = 0\]

Так как треугольник не может иметь сторону нулевой длины, мы отбросим второй корень, и получаем, что длина высоты BH равна \(6\sqrt{2}\) см.

Далее, используя формулу для площади треугольника, мы можем вычислить площадь треугольника ABH:

\[S = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot BH\]

\[
S = \frac{1}{2} \cdot 16 \cdot 6\sqrt{2} = 48\sqrt{2} \, \text{см}^2
\]

Таким образом, площадь треугольника ABH равна \(48\sqrt{2} \, \text{см}^2\).